P6822 [PA2012]Tax

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给出一个 n个点 m 条边的无向图，经过一个点的代价是
进入和离开这个点的两条边的边权的较大值，求从起点 1
到点 n的最小代价。起点的代价是离开起点的边的边权，
终点的代价是进入终点的边的边权。

解决方法：新建一个初始节点和一个结尾节点，将边转化成点
建立新图，将边与边之间的关系转化成新图中的边，从而
将原问题转化成熟悉的最短路问题
定义原图中两点及其连边用(u,v,w(u,v))表示，新图中则用u–>v[w]
表示 ，其中u,v表示两端点，w(u,v)和[w]分别表示两种边权的数值
定义dis(i,j)表示两点之间的最短路径长
（上面的定义要弄清楚，下面可能不会再次强调）

具体流程：
0.建立一个初始点（设为s）和一个结尾点（设为t）
1.从s向 在原图中与1号边相连的所有边建立
形如s–>(1,v) [w(1,v)] 的边
从 在原图中与n号边相连的所有边 向t建立形如
(u,n)–>t [w(u,n)]的边
2.原图中形如(u,v),(v,u)的边 之间向彼此建立
形如(u,v)–>(v,u)[w(u,v)]的边
3.在原图中的无向边拆解成两条有向边，
得到的有向边中源点相同的边之间，建立连向彼此的
边，其中 边权较大的边（设为u,v1） 指向 边权较小的边（设为u,v2）
的边权值 为 w(u,v1)-w(u,v2),边权较小的边 指向 边权较大的边
的 边权值 为0
形如(u,v1)–>(u,v2) [w(u,v1)-w(u,v2)]
(u,v2)–>(u,v1) [0]
对新图求解最短路，得到的就是1到n的最短路

而关于在新图中，源汇点、正向边、反向边之间的关系：
（下面的点与边 如不特殊说明都是新图意义下的）
1.当走源汇点和正向边之间的边时，所计算的是 原图中离开1
或走向n的代价;
2.当走过两条 在原图中对应同一条边的 有向边
（即形如“(u,v)–>(v,u)[w(u,v)]”的边）时，对应到原图
上表示已经完成由u向v的dis值更新，接下来要用v点更新其他点
的dis值
3.当走过 连接原图中同一源点的有向边 之间的边时，相当于
进行反悔操作，对应到原图上就是换了一条边;
4.（2）操作（3）操作的交替进行，表示不断更新dis的过程，
也就是解决原问题的过程，即求解原图中1到n的最短路

这种东西是一个套路，而这个套路带来的启发是：
1.对于一个新问题，往往可以通过构造转化成经典问题
2.对于像绝对值、最大值这样不可以直接用数学式计算
的，将其转化成可直接进行代数计算的形式
3.边不仅仅是图论中直观的边，而是刻画两点之间的关系
也就是说，点表示对象，边表示关系，只要存在对象之间
可以用数值表示的关系，都有可能转化成图论模型。
像此题，新图中的点表示研究对象——原图中的边，
而新图中的边表示原图中对象之间的关系——即边与边的
关系。通过拆解，将不能代数运算的取最大值转化为能代数运算
的边权值。