异或的性质及运用

今天在复习排序算法时，对于用到两个元素交换的几种算法，无意中看到另外一种交换的方法（以前是用引入一个中间变量temp实现）：
int a=1;
int b=2;
a ^= b;
b ^= a;
a ^= b;
看到这个很疑惑，就去查了一下，
下面是从一个博客中看到的：
异或是一种基于二进制的位运算，用符号XOR或者 ^ 表示，其运算法则是对运算符两侧数的每一个二进制位，同值取0，异值取1。它与布尔运算的区别在于，当运算符两侧均为1时，布尔运算的结果为1，异或运算的结果为0。
简单理解就是不进位加法，如1+1=0，,0+0=0,1+0=1。
性质
1、交换律
2、结合律（即(a^b)^c == a^(b^c)）
3、对于任何数x，都有x^x=0，x^0=x
4、自反性 A XOR B XOR B = A xor  0 = A
异或运算最常见于多项式除法，不过它最重要的性质还是自反性：A XOR B XOR B = A，即对给定的数A，用同样的运算因子（B）作两次异或运算后仍得到A本身。这是一个神奇的性质，利用这个性质，可以获得许多有趣的应用。 例如，所有的程序教科书都会向初学者指出，要交换两个变量的值，必须要引入一个中间变量。但如果使用异或，就可以节约一个变量的存储空间： 设有A,B两个变量，存储的值分别为a，b，则以下三行表达式将互换他们的值 表达式 （值） ：
 A=A XOR B (a XOR b)
 B=B XOR A (b XOR a XOR b = a) 
 A=A XOR B (a XOR b XOR a = b)
 类似地，该运算还可以应用在加密，数据传输，校验等等许多领域。
应用举例：
1-1000放在含有1001个元素的数组中，只有唯一的一个元素值重复，其它均只出现
一次。每个数组元素只能访问一次，设计一个算法，将它找出来；不用辅助存储空
间，能否设计一个算法实现？
解法一、显然已经有人提出了一个比较精彩的解法，将所有数加起来，减去1+2+...+1000的和。
这个算法已经足够完美了，相信出题者的标准答案也就是这个算法，唯一的问题是，如果数列过大，则可能会导致溢出。
解法二、异或就没有这个问题，并且性能更好。
将所有的数全部异或，得到的结果与1^2^3^...^1000的结果进行异或，得到的结果就是重复数。
但是这个算法虽然很简单，但证明起来并不是一件容易的事情。这与异或运算的几个特性有关系。
首先是异或运算满足交换律、结合律。
所以，1^2^...^n^...^n^...^1000，无论这两个n出现在什么位置，都可以转换成为1^2^...^1000^(n^n)的形式。
其次，对于任何数x，都有x^x=0，x^0=x。
所以1^2^...^n^...^n^...^1000 = 1^2^...^1000^(n^n)= 1^2^...^1000^0 = 1^2^...^1000（即序列中除了n的所有数的异或）。
令，1^2^...^1000（序列中不包含n）的结果为T
则1^2^...^1000（序列中包含n）的结果就是T^n。
T^(T^n)=n。
所以，将所有的数全部异或，得到的结果与1^2^3^...^1000的结果进行异或，得到的结果就是重复数。
当然有人会说，1+2+...+1000的结果有高斯定律可以快速计算，但实际上1^2^...^1000的结果也是有规律的，算法比高斯定律还该简单的多。
google面试题的变形：一个数组存放若干整数，一个数出现奇数次，其余数均出现偶数次，找出这个出现奇数次的数？
解法有很多，但是最好的和上面一样，就是把所有数异或，最后结构就是要找的，原理同上！！
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这样可以实现不引人第三个变量实现交换，但是进行的计算相对第三个变量多，所以效率会低一些。
关于其他的方法还有：int a=5,b=10; 
a=a+b;   //a=15,b=10 
b=a-b;   //a=15,b=5 
a=a-b;   //a=10,b=5 
但是这样做有一个缺陷，假设它运行在vc6环境中，那么int的大小是4 Bytes，所以int变量所存放的最大值是2^31-1即2147483647，如果我们令a的值为2147483000，b的值为1000000000，那么a和b相加就越界了。 
事实上，从实际的运行统计上看，我们发现要交换的两个变量，是同号的概率很大，而且，他们之间相减，越界的情况也很少，因此我们可以把上面的加减法互换，这样使得程序出错的概率减少： 
int a=5,b=10; 
a-=b;   //a=-5,b=10 
b+=a;   //a=15,b=5 
a+=b;   //a=10,b=5 
通过以上运算，a和b中的值就进行了交换。表面上看起来很简单，但是不容易想到，尤其是在习惯引入第三变量的算法之后。 
它的原理是：把a、b看做数轴上的点，围绕两点间的距离来进行计算。 
具体过程：第一句“a-=b”求出ab两点的距离，并且将其保存在a中；第二句“b+=a”求出a到原点的距离（b到原点的距离与ab两点距离之差），并且将其保存在b中；第三句“a+=b”求出b到原点的距离（a到原点距离与ab两点距离之和），并且将其保存在a中。完成交换。