浅谈树状数组

最新推荐文章于 2023-07-30 10:49:02 发布

原创最新推荐文章于 2023-07-30 10:49:02 发布 · 441 阅读

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#acm #数据结构 #树状数组 #优化

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对于区间更改和查询问题，之前我是一直用线段树解决的，这种结构真的很优美很强大，至于树状数组这个东西，我看到“树状数组能做的线段树都可以做，线段树能做的树状数组却做不了”类似的话以后就没当回事。
再往后是做过几道优化查询的问题，用线段树T了，改成树状数组过了，时间效率高出线段树数倍（丝毫不夸张，尽管复杂度相同），才开始关注这个结构，事实上线段树的常数是相当大的，如果题目只是优化查询，不涉及lazy标记等动态性较强问题，还是建议使用树状数组的。
之后又碰到了二维问题，二维线段树不会写。。。幸好问题是涉及异或的，用树状数组过了，发现这个结构其实还是满强大的，易实现（尽管不易理解），高效率，省空间。。。
趁热做个小总结吧。

一维树状数组

基本用法：单点更新、区间查询

代码网上很好找，大把多。。。这里只说一些需要注意的地方。
树状数组的区间是从1开始的，而且是左闭右闭区间[1, n]，用起来相当方便。
add(x, val, n)是对a[x]增加val的操作。
get(x)是对a[1]到a[x]的所有值求和，即a[1, x]。
注意这边x都是>=1的。

也就是说树状数组解决的基本问题是单点更新和区间查询，当然如果你想查询[l ,r]的和也容易，if(l == 1) return get(r); else return get(r) - get(l - 1); 即可。

用法延伸：区间更新，单点查询

有个关于前缀和的问题，当我们接受连续多组区间更改，仅在最后进行多组区间查询（求和）的时候，我们可以均摊到每次操作O(1)内解决，这就是利用差分。
对序列a的每次区间[l, r]的更改，只记录d[l] += val，d[r + 1] -= val即可，因为更改是连续的，当所有更改完毕以后，我们对d求一个前缀和，并且d[i]就是a[i]的delta值，和a[i]求和就得到了序列a的最终状态。再对序列a求一遍前缀和sum，我们就可以应对连续的多组查询了。
这其实是一个离线算法，要求一次性处理完多组更新，之后再处理多组查询，对于更新查询交替出现的情况就捉襟见肘了，但是树状数组可以解决这个问题。

树状数组可以利用差分做到区间更新和单点查询，当你要对区间[l, r]进行更改时，可以add(l, val, n); add(r + 1, -val, n); 当要查询单点的时候get(x)就得到了变更的delta值，加以原值就是最终结果。
树状数组可以很好的维护前缀和，这是它最大的威力。

二维树状数组

一维的拓展

树状数组可以拓展至二维情况，并且在二维区间内解决相同类型的问题：
add(x, y, val, n)可以对a[x][y]进行增减，get(x, y)可以对对角线为(1, 1)、(x, y)的矩阵求和，如果需要对对角线为(x0, y0)、(x1, y1)的矩阵求和（x0 <= x1、y0 <= y1），只需要return get(x1, y1) - get(x0 - 1, y1) - get(x1, y0 - 1) + get(x0 - 1, y0 - 1)即可。这里的参数为0也无所谓，因为会返回0。

当然区间更新和单点查询也可以达到。
对对角线为(x0, y0)、(x1, y1)的矩阵进行更改，需要add(x0, y0, val, n); add(x0, y1 + 1, -val, n); add(x1 + 1, y0, -val, n); add(x1 + 1, y1 + 1, val, n); 即可，画个图还是很好理解的。单点查询只需get(x, y)。
很好很强大，这个结构我打包带走。

异或问题结合

先总结一下基本功能，树状数组，无论一维还是二维，擅长的问题有两类：一类是单点更新，区间求和；一类是区间更新，单点查询，这里的更新我们指的是加减法。接下来可以看到对于异或这种特殊运算，树状数组的表现更加强大。

现在给出一个问题，有一个序列，初始值均为0，需要支持两种操作，一种xor l r val，使区间[l, r]的每个元素对val取异或；另一种操作query l r输出区间[l, r]所有元素的异或值。

这里的功能是区间更新和区间查询，线段树很好做，打个lazy标记就行，树状数组解决得了么？当然可以。

（我们先考虑一个问题，如果把区间查询功能query l r改成单点查询query x，即查询第x个元素的值，树状数组可做么？这个当然是可以的，跟加减没区别，换下符号就ok。）

考虑一个子问题，求区间[1, x]内所有元素异或值之和。
对于区间更改，一个直观的想法是对[l, r]进行xor操作，只对区间两端点l和r+1取异或，查询的时候get(x)即可。但是这样是不对的，异或操作和加减法不同，当你对l位置增加一个异或元素，它只会影响到[l, n]当中和l位置奇偶性相同的位置，对于x（l <= x <= r），如果[l, x]中元素个数为偶数，则异或效应抵消，反之生效。也就是x和l奇偶性相同时，区间[l, x]中元素个数为奇数，异或因子个数也是奇数，这时候这个异或因子才对答案有影响。如果x > r呢，如果r和l的奇偶性相同，则异或无效，如果l和r奇偶性不同，如果x > r，则一定会算上这个异或因子的。所以关键就在于[1, x]中每类异或因子的个数。

具体做法是这样的，c[2][maxn]，在add(x, val, n)内，只对c[x&1][i]进行异或，get(x)内，也只对c[x&1][i]进行异或，结合上述的说明可以发现这种做法适用于所有情况。

十分巧妙，因为异或运算的性质，异或同一个值两次与没有异或等同，所以我们只需要在异或因子的个数的奇偶性上下工夫，记录一个[1, x]区间对每个异或因子的贡献，进而解决问题。

我们看看同样的问题拓展至二维怎么解决，xor x0 y0 x1 y1 val对整个矩阵的元素均取异或，query x0 y0 x1 y1求整个矩阵元素的异或值。
对add(x, y, val, n)：
在add操作时，显然一个与x奇偶性相同与y奇偶性相同的矩阵区间(1, 1)、(x’, y’)与(1, 1)、(x, y)矩阵区间的交集含有奇数个元素，所以相应的异或因子贡献也是奇个的（奇数 x 奇数 = 奇数）。
所以只要分别对(x, y)这一数对的奇偶性分类就可以了，应为4个树状数组c[2][2][maxn][maxn]。

小结

事实上树状数组的原理不是十分好理解，它的英文名叫做BIT，“二进制索引树”，它利用索引的二进制对区间划分，巧妙得进行合并。
lowbit(x)即为x&-x，它取到的是x二进制最右侧的以1开头，其后都是0的一个串，当x -= lowbit(x)时，得到的新x是前向区间的索引，x += lowbit(x)时，得到的是后向区间的索引，由于任何一个整数的二进制最多有logn个这样的区间，所以无论求和还是维护都可在logn内解决。
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