Senior Data Structure·详解分块思想与树状数组

一、浅析数据结构之用处和高级数据结构之特性

数据结构者，谓之数据之关系。单论数据特性，也不过是数据之间的存储方式罢。但要说更深层次之作用，是运用其存储之特性，建立数学之模型，更方便地才处理数据尔。

以上是鲁迅同志说的（鲁迅：$exm$？？？），其实一切的数据结构不过就是一种用于处理数据的、成熟的、合理的结构封装。较低级的数据结构不会支持什么操作，仅是维护自身的存储秩序；而高级数据结构则可以支持许多操作——其实也不过是维护自身数据的秩序而已，只不过在维护其自身秩序的同时，由于其本身结构复杂且特点鲜明，所以会产生许多很优化的算法。
（鲁迅：看在你讲得这么好饶了你！）

而今天我们主要介绍有关$RMQ$、$RSQ$问题的、较为基础的高级数据结构。

二、先来介绍分块思想吧

（一）基本性质与证明

其实从本质上来讲，分快更像是一种思想。分块，顾名思义，就是将一个区间分成几块，然后对于每个询问，整合一个或者多个甚至全部区间的信息。但是在这种整合不是随便整合，必须要有技巧、有目的地整合，才会减小时间复杂度。

先看一道例题：

现在你有一个长度为$n$的序列，有$m$个操作：

1.修改某位置的元素的值

2.将一段区间的元素加上或减去一个值。

3.求一段区间的元素的最大值。

$n$,$m$≤$50000$

让我们考虑分块:
首先第一步，进行区间划分，在这一步我们考虑将整个序列划分成$\sqrt{n}$块，这可以使得其总查询时间最快

证明：

对于搜查整个序列中的一段区间，设这段区间内的完整分块块数是$C$块，每一段均匀的分块都$S$个元素，那么这一段区间的最复杂形式为:有$C$个完整区间，并且闭区间[$l$,$r$]还在两端包括有不完整的分好的块：

——|—【————|——————|——————|————】—|————

上图中【】表示区间，|与|之间表示分好的均匀块（qwq博主不知道怎么画精美的图啦）

我们可以发现该区间内有$C$段完整区间，$2$段不完整区间；而同时，不完整区间的元素数量之和，绝对小于等于$2S$；那么我们对于这一个区间而言，共需要进行最多