acm动态规划之LCS最长公共子串uva10405Longest Common Subsequence解题报告

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本文介绍了一种使用动态规划求解最长公共子序列(LCS)问题的经典算法，并提供了一个具体的C++实现示例。该算法适用于两个序列的比较，通过构建二维数组来存储中间结果，避免重复计算，达到优化的目的。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

对于一般的LCS问题，都属于NP问题。当数列的量为一定的时，都可以采用动态规划去解决。
动态规划的一个计算最长公共子序列的方法如下，以两个序列 X、Y 为例子：
设有二维数组 f[i][j] 表示 X 的 i 位和 Y 的 j 位之前的最长公共子序列的长度，则有：
f[1][1] = same(1,1)
f[i][j] = max{f[i-1][j-1] + same(i,j),f[i-1][j],f[i][j-1]}
其中，same(a,b)当 X 的第 a 位与 Y 的第 b 位完全相同时为“1”，否则为“0”。
此时，f[i][j]中最大的数便是 X 和 Y 的最长公共子序列的长度，依据该数组回溯，便可找出最长公共子序列。
该算法的空间、时间复杂度均为O(n^2)。

 1 #include <iostream> 
 2 #include <fstream>
 3 #include <cstring>
 4 #include <string>
 5 #include <cmath>
 6 using namespace std; 
 7 const int MAX=1020;
 8 int dp[MAX][MAX];//保存信息
 9 string str_1,str_2;
10 int main()
11 {
12 #ifndef ONLINE_JUDGE
13     freopen("F://code//txt//25.txt","r",stdin);
14 #endif    
15     while(getline(cin,str_1)&&str_1.size())
16     {
17         getline(cin,str_2);
18         memset(dp,0,sizeof dp);
19         for(int i=1;i<=str_1.size();i++)
20         {
21             for(int j=1;j<=str_2.size();j++)
22             {
23                 if(str_1[i-1]==str_2[j-1])
24                     dp[i][j]=dp[i-1][j-1]+1;
25                 else
26                     dp[i][j]=max(dp[i-1][j],dp[i][j-1]);
27             }
28         }
29         cout<<dp[str_1.size()][str_2.size()]<<endl;
30     }
31     
32     return 0;
33 }