分治法：归并排序分析

目录

一.分而治之

二.归并排序性能分析

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一.分而治之:

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递归算法的复杂度计算方法：

1、代入法

2、递归树法 P50

3、主方法 

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二.归并排序性能分析:

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假设求解规模为n的问题耗时为，当n=1，。当n>1时，根据分治法按以下步骤对问题进行处理：

1. 分解：将规模为n分解为a个规模为的问题，假设分解耗时为；
2. 求解：求解a个规模为的问题，则求解这些问题的时间为；
3. 合并：将a个规模为的问题合并。假设该过程耗时为。

经过上述处理，可得到：

                    （1）

 

在归并法中，分解、求解、合并操作的耗时如下

1. 分解：分解操作为，耗时为常量，则。
2. 求解：归并法中，分解操作是将规模为n的问题分解成2个规模为的问题，则；
3. 合并：归并法的合并操作的伪代码和耗时如表1所示，其中，明显可得。

                     表1

MERGER(A,p,q,r)                        代价  次数

1. n1=q-p+1                         c1     1    
2. n2=r-q                           c2     1
3. 新建数组L和R                     c3     1
4. for i=1 to n1                    c4     n/2            
5.     L[i]=A[p+i-1]                c5     n/2    
6. for j=1 to n2                    c6     n/2  
7.     R[j]=A[q+j]                  c7     n/2  
8. L[n1+1]=∞                       c8     1
9. R[n2+1]=∞                       c9     1
10. i=1                              c10    1
11. j=1                              c11    1
12. for k = p to r                   c12    n
13.     if L[i]≤R[j]                c13    n
14.         A[k]=L[i]                c14    t
15.         i = i + 1                c15    t
16.     else A[k]=R[j]               c16    n-t
17.         j = j + 1                c17    n-t

假设 处理规模为 1 的问题和在分解和合并操作中处理每个元素的耗时的上界为常数c，则 ，

因此公式1可变成                           （2）

                 

公式（2）不断迭代分解后可得：

     

假设经过k次分解后，达到规模为1的问题，即，所以，代入上述公式可得

归并排序小结

    1.归并排序的时间复杂度为O(nlgn), 空间复杂度为O(n)

    2. 归并排序属于稳定排序，即排序前后相等元素的先后顺序不变，这是在O(nlgn)系列算法中（比如快速排序）少有的稳定排序算法

    3. 在计算mid = (low + high) / 2时，如果low和high很大，则可能发生溢出，可将式子转换为mid = low + (high - low) / 2

    4. 书上伪代码是在每次merge时分配临时空间，这样多次分配释放会影响效率，可以预先分配O(n)的空间作为参数传给merge函数

    5. 归并排序可用于外排序。当我们要对一个很大的数据文件排序（文件不能一次装入内存），可以将其分段读入内存排序后写回（或写到临时文件），然后再使用归并算法合并已排序的多个子文件

    6. 类似的，如果要合并两个特别大的有序序列，去除重复元素，或者是找出相同元素，也可以采用merge的思想