本文介绍了如何使用正交多项式进行最小二乘法拟合，包括构造正交多项式序列，计算多项式系数，以及使用Python代码实现线性和二次曲线的拟合。通过实例演示了从数据中提取正交多项式及系数的过程。
最小二乘法的正交多项拟合算法
数学表达式
参考清华大学 李庆杨《数值分析》第五版 P69
构造正交多项式 pk(x)k=0n{p_k(x)}^n_{k=0}pk(x)k=0n
p0(x)=1p1(x)=(x−A1)p0(x)...pk+1(x)=(x−Ak+1)pk(x)−Bkpk−1(x)k=1,2,3,...,n−1 p_0(x) = 1 \\ p_1(x) = (x-A_1)p_0(x) \\ ...\\ p_{k+1}(x) = (x-A_{k+1})p_k(x) - B_k p_{k-1}(x) \\ k =1,2,3,...,n-1 p0(x)=1p1(x)=(x−A1)p0(x)...pk+1(x)=(x−Ak+1)pk(x)−Bkpk−1(x)k=1,2,3,...,n−1
其中
Ak+1=(xpk,pk)(pk,pk)=∑i=0mxipk2(xi)∑i=0mpk2(xi),k=0,1,2,...,n−1Bk=(pk,pk)(pk−1,pk−1)=∑i=0mpk2(xi)∑i=0mpk−12(xi),k=1,2,...,n−1 A_{k+1} = \frac{(xp_k,p_k)}{(p_{k},p_{k})} = \frac{\sum_{i=0}^m x_ip^2_k(x_i)}{\sum_{i=0}^mp_k^2(x_i)},k=0,1,2,...,n-1 \\ B_k = \frac{(p_k,p_k)}{(p_{k-1},p_{k-1})}= \frac{\sum_{i=0}^m p^2_k(x_i)}{\sum_{i=0}^mp_{k-1}^2(x_i)},k=1,2,...,n-1 \\ Ak+1=(pk,pk)(xpk,pk)=∑i=0mpk2(xi)∑i=0mxipk2(xi),k=0,1,2,...,n−1Bk=(pk−1,pk−1)(pk,pk)=∑i=0mpk−12(xi)∑i=0mpk2(xi),k=1,2,...,n−
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