硬币找零(动态规划问题)

public static int coinChange(int[] coin, int n){
    int [][]dp =new int[coin.length+1][n+1];
    for(int i=0;i<coin.length+1;i++){
        dp[i][0]=0;
    }
    for(int i=0;i<n+1;i++){
        dp[0][i]=Integer.MAX_VALUE;
    }
    for(int i=1;i<n+1;i++){
        for(int j=1;j<coin.length+1;j++){
            if(i<coin[j-1]){
                dp[j][i]=dp[j-1][i];
                continue;
            }
            if(dp[j-1][i]>=dp[j][i-coin[j-1]]+1){
                dp[j][i]=dp[j][i-coin[j-1]]+1;
            }else{
                dp[j][i]=dp[j-1][i];
            }
        }
    }
    return dp[coin.length][n];

}
### 最少硬币找零问题动态规划解决方案 #### 问题描述 给定一组不同面值的硬币 `coins` 和一个目标金额 `amount`,求组成该金额所需的最少硬币数量。如果无法组成该金额,则返回 `-1`。 #### 动态规划解决方法 此问题可以通过动态规划来高效解决。核心思想是构建一个数组 `dp[]`,其中 `dp[i]` 表示金额为 `i` 的情况下所需最少硬币的数量。状态转移方程如下: ```plaintext if (i >= coin) { dp[i] = Math.min(dp[i], dp[i - coin] + 1); } ``` 这里的关键在于通过遍历每一种硬币并更新当前金额的状态,逐步找到最优解[^2]。 #### 初始化与边界条件 为了确保计算正确,需初始化 `dp[0] = 0`,表示金额为 0 时不需任何硬币即可完成支付。对于其他金额,初始值设为无穷大(通常可以用一个较大的整数值代替),以便后续比较时能够覆盖所有可能性。 #### 完整算法实现 以下是基于 JavaScript 的完整实现代码: ```javascript function coinChange(coins, amount) { const MAX = Infinity; let dp = new Array(amount + 1).fill(MAX); dp[0] = 0; for (let i = 1; i <= amount; i++) { for (const coin of coins) { if (coin <= i && dp[i - coin] !== MAX) { dp[i] = Math.min(dp[i], dp[i - coin] + 1); } } } return dp[amount] === MAX ? -1 : dp[amount]; } // 测试案例 console.log(coinChange([1, 2, 5], 11)); // 输出: 3 (11 = 5 + 5 + 1) ``` 在 Java 中也可以采用类似的逻辑实现,具体代码如下所示: ```java public class CoinChange { public static int coinChange(int[] coins, int amount) { int max = amount + 1; int[] dp = new int[max]; Arrays.fill(dp, max); dp[0] = 0; for (int i = 1; i <= amount; i++) { for (int coin : coins) { if (coin <= i && dp[i - coin] != max) { dp[i] = Math.min(dp[i], dp[i - coin] + 1); } } } return dp[amount] > amount ? -1 : dp[amount]; } public static void main(String[] args) { System.out.println(coinChange(new int[]{1, 2, 5}, 11)); // 输出: 3 } } ``` 以上两种语言均实现了相同的逻辑结构,并利用了动态规划的核心思想——子问题分解与重叠子问题优化[^3]。 #### 时间复杂度分析 假设共有 `n` 种不同的硬币,目标金额为 `m`,则时间复杂度为 O(n * m),空间复杂度为 O(m)[^2]。 ---
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