快速幂取模算法

刷OJ遇到了形如(a*b)%n 的算子，本来想用JAVA直接大数计算水过，后来看到讨论区发现了快速幂取模这样的算法，网上搜索了下总结：

参考文章：http://blog.youkuaiyun.com/lsldd/article/details/5506933

在Miller Rabbin测试素数，就用到了快速幂取模的思想。这里总结下。
求a^b%c（这就是著名的RSA公钥的加密方法），当a,b很大时，直接求解这个问题不太可能 

算法1：利用公式a*b%c=((a%c)*b)%c,这样每一步都进行这种处理，这就解决了a^b可能太大存不下的问题，但这个算法的时间复杂度依然没有得到优化
代码如下：

int modexp_simple(int a,int b,int n)     
{    
    int ret = 1;
    while (b--)
    {
        ret = a * ret % n;
    }
    return ret;
}  

算法2：另一种算法利用了二分的思想，可以达到O(logn)。
可以把b按二进制展开为：b = p(n)*2^n  +  p(n-1)*2^(n-1)  +…+   p(1)*2  +  p(0)
其中p(i) (0<=i<=n)为 0 或 1

这样 a^b =  a^ (p(n)*2^n  +  p(n-1)*2^(n-1)  +...+  p(1)*2  +  p(0))
               =  a^(p(n)*2^n)  *  a^(p(n-1)*2^(n-1))  *...*  a^(p(1)*2)  *  a^p(0)
对于p(i)=0的情况, a^（p(i) * 2^(i-1) ） =  a^0  =  1,不用处理
我们要考虑的仅仅是p(i)=1的情况
化简：a^(2^i)  = a^(2^(i-1)  * 2) = (  a^(  p(i)  *  2^(i-1)  )  )^2
（这里很重要！！具体请参阅秦九韶算法： http://baike.baidu.com/view/1431260.htm ）

利用这一点，我们可以递推地算出所有的a^(2^i)
当然由算法1的结论，我们加上取模运算：
a^(2^i)%c = ( (a^(2^(i-1))%c) * a^(2^(i-1)))  %c
于是再把所有满足p(i)=1的a^(2^i)%c按照算法1乘起来再%c就是结果， 即二进制扫描从最高位一直扫描到最低位

实例代码：递归

//计算a^bmodn     
int modexp_recursion(int a,int b,int n)     
{    
    int t = 1;

    if (b == 0)
        return 1;

    if (b == 1)
         return a%n;

    t = modexp_recursion(a, b>>1, n);

    t = t*t % n;

    if (b&0x1)
    {    
        t = t*a % n;
    }

    return t;
 } 

实例代码2：非递归优化 

#include <iostream>   
using namespace std;   
  
//计算a^bmodn   
int modexp(int a,int b,int n)   
{   
    int ret=1;   
    int tmp=a;   
    while(b)   
    {   
       //基数存在   
       if(b&0x1) ret=ret*tmp%n;   
       tmp=tmp*tmp%n;   
       b>>=1;   
    }   
    return ret;   
}   
  
int main()   
{   
    cout<<modexp(2,10,3)<<endl;   
    return 0;   
}