道路与航线 AcWing.342

题目描述:

评注: 这道题有一定的思路难度，并且具有一定的实现难度，是一道很好的题，值得细细品味

思路: 首先看懂题面，很容易找到“入手点”是航道，航道是单向边，并且权值可能为负数，并且航道不被包含于图中的环。我们考虑“去边法”，先将图G中所有航道全部去掉，我们来分析此时的图G'会有什么性质:

 此时图G'只含有双向边，那么图G'一定由若干个连通块组成(我们将一个连通块称为“团”)。此时我们再将航道加入图G'，分析不难得到: 航道必然只能出现在团与团之间，而不能出现在一个团的内部.

Lemma1: 航道不能出现在图G'的团的内部

Proof: 假设一条航道e出现在了团1的内部，考虑e所连接的两个点u,v,不妨假设u->v. 由团的定义，在加入航道e之前，u和v本身就连通，i.e. 存在一条路径l, 从v出发，到达u.

此时，u通过航道到达v，并且v可以通过一条路径到达u，与题目条件矛盾。End of proof.

因此，航道只能出现在团与团之间，进一步分析不难得到以下结论:

Lemma2: 若把团视为一个节点，团与团之间的航道作为有向边，那么图G就是一个有向无环图

Proof: 取一个有向环，简单分析即可，这里不再赘述。