不平等博弈问题学习记录（三）（对于超实数在博弈下左大右小以及多堆情况的扩充）

前言

今天写的这一篇文章离写第一篇文章的时间可能有几天了，并且在这段时间里也有人向我提出了我错误的地方，现已做出更改
今天，我们又做到了一道题目，也是不平等博弈的，听了讲题，我对不平等博弈有了更深的理解

Past感想（现在对前两篇博客已经做修改）

首先，不平等博弈，或者说是一个游戏，一直以来我觉得都可以用超实数来做，但今天我发现，其实超实数其实是一种数，这种游戏的状态不等价于超实数，就比如$\ast$符号，这个就不是超实数，所以这些东西都是超实数的扩充
还有呢，在超实数的运算{X∣Y}\{X|Y\}{X∣Y}的定义中有“这两个集合中的元素也为超实数，且右集合中不存在一个元素$x$使得左集合中存在一个元素$y$满足 $x\le y$”。
但事实上在博弈上很容易出现比如说{1∣0}\{1|0\}{1∣0}的情况，这个时候在博弈中仍然是合法的，但是却不能按一般的运算方法来做了，需要用一些特技来算了

正文

超实数的定义中一定要左小右大
但在实际博弈中不一定满足
就比如一道题，有两个人，一个人每次能拿a个石子，一个人每次能拿b个石子，求多堆的时候的情况
这道题有一个规律，如果有一堆石子有x个，那么它的状态等价于x%(a+b)个，可能不会证明，但是能通过打几个表来找到规律，其中就有{l|r}(l>r)的运算
下面枚举a=2,b=3的情况

• f(0)=0
  0颗石子，先手必败
• f(1)=0
  1颗石子，同样两个人都不能取，先手必败
• f(2)=1
  第一个人能取，f(2)= { f(0) | $\Phi$ }={ 0 | inf }=1
• f(3)=$\ast$
  一个人拿了另一个人就不能拿，所以就是先手必胜，先手必胜有3种情况：$\ast +\uparrow$ 、$\ast +\downarrow$ 、$\ast$ ，要怎么判断是三个中的哪个呢，由于$\uparrow +\uparrow$是一个第一个人必胜态，$\downarrow +\downarrow$是第一个人必败态，所以只要把这个石子复制成2堆，若是第一个人必胜，那么就是$\ast +\uparrow$，若是第二个人必胜，那么就是$\ast +\downarrow$，若是先手必败，那么就是$\ast$，两堆3个的石子，那么显然是先手必败，所以f(3)=$\ast$，其实很显然，f(3)={f(1)|f(0)}={0|0}=$\ast$
• f(4)=$\ast +\uparrow$
  同f(3)的做法，两个4堆的石子，是第一个人必胜，所以f(4)=$\ast +\uparrow$，同时发现，解决了f(4)={f(2)|f(1)}={1|0}的问题，{1|0}=$\ast +\uparrow$
• f(5)=0
  这个显然先手必败，所以是0，同时f(5)={f(3)|f(2)}={$\ast$|1},它竟然等于0
• f(6)=0
  这个分析一下就知道，若第一个玩家先取，那么第二个玩家赢，若第二个玩家先取，那么第一个玩家赢，所以f(6)=0，得出f(6)={f(4)|f(3)}={$\ast +\uparrow$|$\ast$}=0
• f(7)=1
• f(7)={f(5)|f(4)}={0|$\ast +\uparrow$}，分析一下，这是一个先手必胜的状态，但是它等于几呢？一脸迷茫，猜一波结论，f(7)=1?证明呢，很简单，证明f(7)+(-1)=0就好了，也就是第二个人多一步，你可以自己分析一下步数，那就可以发现确实是先手必败
  …其实已经有点循环了，后面的证明同理，不再说明
  说重点，讲一讲超实数的加法吧

我们发现，对于这些奇奇怪怪的状态，还是带入实际问题用博弈的方式解决比较好，找不到比较好的定义

加法运算（用于超实数状态的多堆情况）

对于超实数 x= { $X_L$ | $X_R$ } 和 y = { $Y_L$ | $Y_R$ } ，它们的加法运算被定义为：
x+y={ $X_L$ | $X_R$ }+{ $Y_L$ | $Y_R$ }={$X_L$+y,x+$Y_L$|$X_R$+y,x+$Y_R$},
对于某个集合X和超实数y，X + y = { x + y : x $\in$ X }
终止条件为$\Phi$ + n = $\Phi$

相反数运算

对于超实数 x= { $X_L$ | $X_R$ } ，x的相反数为：- x = -{ $X_L$ | $X_R$ } = { -$X_R$ | -$X_L$ }，对于集合X，-X={ -x : x $\in$ X }
终止条件为-0=-{ | }={ | }=0

其它定义

还有的定义是x-y=x+(-y)
根据上面三个官方的定义，还可以得到两个超实数之和还是超实数，并且加法满足交换律、结合律

证明上面的$\uparrow$ + $\uparrow$是先手必胜态
证明：$\uparrow$ + $\uparrow$ = { 0 | $\ast$ } + { 0 | $\ast$ } = { 0 + $\uparrow$ , $\uparrow$ + 0| $\ast$ + $\uparrow$ , $\uparrow$ + $\ast$ } = { $\uparrow$ | $\ast$ + $\uparrow$ }，所以是先手必胜

可能就这些了吧，这些东西差不多可以让超实数在博弈中得到扩展，之后不平等博弈问题会在需要的时候继续更新新的篇目，记录（三）到这里就结束了