C++数据结构难点-kmp算法详细图解-优快云博客

本文链接：https://blog.youkuaiyun.com/zhoumingde222/article/details/142779398

kmp算法用于解决寻找母字符串S的子串P

以下为原题，也是kmp能解决的经典问题

代码如下：（无注释）

#include<iostream>

using namespace std;

int const N = 1e5+10,M = 1e6+10;
int n,m;
char s[M],p[N];
int ne[N];

int main()
{
    cin>>n>>p+1>>m>>s+1;

    //计算next数组
    for (int i = 2,j = 0;i<=n;i++)
    {
        while(j && p[i] != p[j+1]) j = ne[j];
        if (p[i] == p[j+1]) j++;
        ne[i] = j;
    }


    //匹配kmp
    for(int i = 1,j = 0;i<=m;i++)
    {
        while(j && p[j+1] != s[i]) j = ne[j];
        if (p[j+1] == s[i]) j++;
        //if (j == 0),continue；这时候直接让i进一位，所以不写
        if (j == n)
        {
            printf("%d ",i-n+1-1);
            j = ne[j];
        }
    }
}

有注释：

#include<iostream>

using namespace std;

int const N = 1e5+10,M = 1e6+10;
int n,m;
char s[M],p[N];
int ne[N];

int main()
{
    cin>>n>>p+1>>m>>s+1; //这里把两个字符串全部输入进去,下标从1开始
    
    //求next过程
    for(int i = 2,j = 0;i <= n;i++) //这里自动有ne[1]=0,ne[2]=0
    {
        while(j && p[i] != p[j+1]) j = ne[j];
        //循环退出有两种情况
        if (p[i] == p[j+1]) j++;
        //if (j == 0),直接i++，所以不需要写任何东西
        ne[i] = j;
    }

    //kmp匹配过程
    for(int i = 1,j = 0;i <= m;i++)
    {
        //只要前方一个数不相同，就一直退
        while(j && p[j+1] != s[i]) j = ne[j];

        //循环退出有两种可能，一是j退无可退(j = 0)，二是不再满足p[j+1] != s[i]
        //其中j = 0 的情况不需要写任何代码:if (j == 0),直接i++，不需要写任何东西
        if (p[j+1] == s[i]) j++;

        if (j == n) //匹配成功
        {
            printf("%d ",i-n+1-1);//本题要求输出下标从0开始，故-1
            //匹配成功后，j若再+1就一定不匹配了，所以直接令j = ne[j]寻找下一个可能匹配的字符串
            j = ne[j]; 
        }
    }

    return 0;
}

暴搜做法

#include<iostream>

using namespace std;

int main()
{
    for(int i = 1;i<=m;i++)
    {
        bool flag = true;
        for(int j = 1;j <= n;j++)
        {
            if(p[j] != s[i+j-1])
            {
                bool flag = false;
                break;
            }
            if(flag) printf("%d",i);
        }
    }
}

可以看到，代码在不断地循环计算，复杂度为O（m*n），不可接受

优化做法

先看第一幅图，当前母串s的蓝色部分可以和模版串p的一些部分匹配，但是从某一位开始匹配不上

如果我们不想使用暴力搜索，那就要思考一个问题：绿色模版串至少向前前进几位才有可能再次匹配上？

我们如果让绿色模版串前进p位后，有三种可能

1.前进后一位都匹配不上，直接pass

2.前进后能匹配上一些位数，如第二幅图，但是这样是无效的，尽管有一些段是匹配的，但只要有一位不匹配，那整个串就不可能匹配成功

3.第三幅图的情况，绿色模版串向前移动一定位数后，除了上次匹配失败的那一位，其他所有位数都可以匹配成功，我们要找的就是这种情况

然而这时候会出现一个问题：

Q1:绿色模版串向前移动p位，可能有多个p可以使绿色串移动后是图3的情况，那么我们需要哪一种呢？

答案是我们要找到最小的p，因为题目的输出要求是：每当模版串成功匹配时，输出母串中成功匹配部分的第一个数的下标。只有我们使用最小的p才保证不会漏解。

至于这个最小的p如何寻找，就是kmp的核心，next数组

kmp的核心：next数组

我们先定义一下前缀和后缀，假设现在有一个字符串“abababababa”（编号从1开始）

长度为3的前缀就是aba，长度为4的前缀就是abab

也就是：从第一个字母开始长度为某一个数的字符串

再来看后缀，这个字符串的第4为是b，那第四位b的一个长度为2的后缀就是ab，同理，第5位的长度为3的后缀就是aba

第i位的长度为j的后缀就是：从i-j+1到i的字符串

我们接下来再来定义next数组：对于一个字符串的第i位数，next[i]就是最大的使得第i位的前缀后缀相等的数（且长度不能大于或等于i，这个先记下来，不要细究原因），比如上文提到的abababababa字符串，i = 5时，next[5] = 3，因为最大可以取3，使得第五位的前后缀相同

next和p的关系

假设我们现在已经知道了这条绿色模版串的next数组（即对每一位i，都知道next[i]是多少），那每当我们要移动绿色串的时候，要移动的最小位数p应该是多少呢？

答案是p = i - next[i],移动i - next[i]位

举个例子：（注意这里上方的是母串，下方位模版串，这里的i和上文的i不同）

不要管为什么是i-1和j对应，i和j+1对应，这个不重要，只是一种习惯

现在我们正在尝试匹配模板串的第j+1位和母串的第i位，c和b匹配失败，这里j = 3，j+1 = 4

下一次可能让模版串匹配成功的情况，需要将模版串向前移动2位，也就是j - next[j]（j是3，next[j]是1）

以上是为了理解模版串的移动，实际写代码中我们可以直接让j = next[j]，达到同样的效果

正向看一遍

现在母串的蓝色部分和模版串的前一半绿色部分是成功匹配的，但是母串的红圈位置与模版串的绿圈位置的字母不匹配，我们这时候应该怎么做？

答案是向前移动j - ne[j]位

ps：这里ne就是next数组，取名为ne是为了防止一些头文件冲突

什么是移动？

我们接下来要把图上字符串的移动转变为代码

现在在母串s上有一个指针i，i会遍历整个母串，对于每个i，我们要将s[i]与p[j+1]比较，绿色模版串的“移动”实际上就是改变“比较的是第几位”，因此直接令 j = ne[j]就可以达到移动j - ne[j]的效果

这里举一个匹配的例子，以帮助大家更好地理解kmp的匹配过程

只看蓝色的字，不要管上面绿色的线段

    //kmp匹配过程
    for(int i = 1,j = 0;i <= m;i++)
    {
        //只要前方一个数不相同，就一直退
        while(j && p[j+1] != s[i]) j = ne[j];

        //循环退出有两种可能，一是j退无可退(j = 0)，二是不再满足p[j+1] != s[i]
        //其中j = 0 的情况不需要写任何代码:if (j == 0),直接i++，不需要写任何东西
        if (p[j+1] == s[i]) j++;

        if (j == n) //匹配成功
        {
            printf("%d ",i-n+1-1);//本题要求输出下标从0开始，故-1
            //匹配成功后，j若再+1就一定不匹配了，所以直接令j = ne[j]寻找下一个可能匹配的字符串
            j = ne[j]; 
        }
    }

结合代码理解：

第一步，可以看到s[i]与p[j+1]匹配成功，那么i与j都向前移动一位

第二步，s[i]与p[j+1]匹配失败，则令j = ne[j]，ne[j] = 4，移动6-4=2位，也就是j = ne[j]

如果一直j = ne[j]且始终匹配不成功，则j最终会等于0，同样跳出while循环，此时只需要让i前进1位即可

如果j = n了，说明p的每一位全部匹配成功，输出匹配成功的字符串的首位数下标，也就是i-n+1，但是本题要求下标从0开始，那就再-1即可，无伤大雅

这里注意一旦j匹配成功，那么j后面就已经没有数字了，为了寻找下一个可能匹配的数，应该令j = ne[j]

next数组的计算

next数组的计算不需要手动遍历，可以用递推取得，方式与kmp匹配的过程非常类似，就是用模版串p自己匹配自己

这里与母串s完全无关，模版串p每一位i的ne[i]仅与p自己有关，因为这里在找p中每一位的最大公共前后缀

先明确目标和手段，我们要求第i位的最大公共前后缀，我们采用递推的方法，所以已知1~i-1位的ne[]数组（类似第二类数学归纳法）

如果蓝色部分已经匹配成功，我们想知道第i位的最大公共前后缀ne[i]，是否需要重复求解呢？

答案是不需要，我们只需要比较p[i]与p[j+1]，如果相同，则i与j都向后移动一位，记录ne[i] = j即可

相应的，如果p[i]！= p[j+1]，只需令j = ne[j]比较下一个可能匹配成功的数即可

结合代码理解：

    //求next过程
    for(int i = 2,j = 0;i <= n;i++) //这里自动有ne[1]=0,ne[2]=0
    {
        while(j && p[i] != p[j+1]) j = ne[j];
        //循环退出有两种情况
        if (p[i] == p[j+1]) j++;
        //if (j == 0),直接i++，所以不需要写任何东西
        ne[i] = j;
    }

如果j不是0，就比较p[i]与p[j+1]，成功匹配则退出循环，j++，记录ne[i] = j

匹配失败则令j = ne[j]，再次尝试匹配，不断循环

如果循环一直失败，直到j = 0,j会最后匹配一次，如果成功，j++，ne[i] = 1，如果又失败，那说明这一位的最大公共前后缀是0，直接i++即可

（因为我们的ne[]数组是设置在main函数外，所以不操作默认是0，直接i++跳过即可）

以下再举个例子帮助理解