快速幂（C语言）

最新推荐文章于 2025-02-09 23:02:28 发布

都是Bug惹的祸

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分类专栏： C/C++题目解析蓝桥杯复习题文章标签： c语言算法 c++

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文章介绍了快速幂算法，这是一种用于高效计算大整数模幂的算法，特别适用于处理指数较大的情况。通过利用二进制分解指数并减少运算次数，快速幂可以将时间复杂度降低。文章提供了算法的思路、示例解释以及C语言的实现代码，展示了如何在循环中利用位运算优化计算过程。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

快速幂

题目描述：

给出三个整数 $a, b, m$ ，求 a^b mod m 的值。

输入格式：

一行三个整数 a、b、m。

输出格式：

一个整数，表示 a^b mod m 的值。

输入样例：

2 100 1007

输出样例：

提示：

对于全部数据，1≤a,b,m≤10⁹。

思路：

首先需要知道一个原理：

两数之积取模等于对两数分别取模然后对积取模，即 (a * b) % p = (a%p) * (b%p)%p

对于指数较大的情况，为了解决时间复杂度高的问题，引入快速幂。

快速幂的核心思想：利用二进制来加速计算

例如：计算 5⁴⁵
$5^{45(10)} = 5^{101101(2)} = 5^{2^5*1+2^4*0+2^3*1+2^2*1+2^1*0+2^0*1}=5^{2^5*1}*5^{2^4*0}*5^{2^3*1}*5^{2^2*1}*5^{2^1*0}*5^{2^0*1}$

因为： $5^{2^4*0}=5^{2^1*0}=1$

根据指数的运算性质： $n^{2^{m-1}}*n^{2^{m-1}}=n^{2m}$ 可以得到 $5^{2^5}=5^{2^4}*5^{2^4}、5^{2^4}=5^{2^3}*5^{2^3}、5^{2^3}、5^{2^2}、5^{2^1}、5^{2^0}$

综上：

如果一个指数的二进制形式最低位为 1 ，则累乘项数，为 0 ，则跳过。

再计算下一项

将指数二进制右移一位（使用位运算符）

代码：

#include<stdio.h>

int main()
{
	int b,m;
	long long  a=0,s=1;
	
	scanf("%lld %d %d",&a,&b,&m);
	
	while(b)
	{
		if(b&1)         //判断指数的二进制最低位是否为 0
			s=s*a%m;    //如果为 0 ，则和前面的项累乘并存储
        a=a*a%m;        //计算下一项（例如5^4=5^2*5^2）
		b>>=1;          //二进制右移一位
	}
	printf("%lld",s);
	return 0;
}