逻辑代数与位运算

基础：

或运算 | ，逻辑代数中使用+   或0， 保持；或1，置1；而且同时为0，结果才为0；

与运算&，逻辑代数中使用 .     与1，保持；与0，清0；而且同时为1，结果才为1.

异或运算^, 逻辑代数中使用^;    异或0，保持；异或1，取反。 

三种逻辑运算，都有一种保持；剩下的刚好分别是清0，置1，取反。

+和*是对偶的（在分配律下看出）。相同运算符的运算，满足交换律和结合律。

对于两个数，a | b用来标记a，b中同时为0的位；a & b用来标记a , b中同时为1的为位；a ^ b用来标记a， b中不同的位。

1、交换两个数

1、a=a^b ;  2、b =a^b; 3、a = a^b

2中的a实际上是原始的a^b, a^b^b = a^(b^b) = a^0 =a;  即b =a(最初的a); 3式中的b是原来的a, (a^b)^b = a; 所以将变化的a 还原为原来的a。

2、判断是否是偶数

只需要判断最后一位是0还是1，这样把前边所有为置0（与0），最后一位保持不变（与1），与运算刚好可以。

a&1   = 0 偶数
a&1 =   1 奇数

3、第k位清0

类似的的将第k位清0，其他位保持不变，可以与上一个第k位为0，其他位为1的数。得到一个第k位为0的数，其他位为1的数，可以从一的第k位为1，其他位为0的数按位取反得到。后者可以通过1的左移k位实现。

最终实现：

a=a&~(1<<k)

4、第k位置1

第k位置1（或1），其他位不变（或0），可以或上一个第k位为1，其他位为0的数。

最终实现：

a=a|(1<<k)

5、第k位取反

第k位取反（异或1），其他位不变（异或0），可以异或上一个第k位为1，其他位为0的数。

a=a^(1<<k)

6、循环移位

由于不同编译器对于 >> 实现为算术右移还是逻辑右移（算术右移最高位补符号位，逻辑右移最高位补0）的处理不同，所以下边的只对逻辑右移和无符号数成立，假设a是32位整数。

循环左移k位

a=a<<k|a>>32-k

循环右移k位

a=a>>k|a<<32-k

7、将最右边的1清0

清0自然是与0，保持由于并不知道哪些位是1，所以不能通过与1实现，不过可以用与本身来保持；减1 将最右边的1之后的所有位（全部是0）取反（变成全部1），1的那位变成0，也就是说，刚好减1之后，从最右边的1那位开始，全部取反。A&～A = 0；

应用，将最左边的1清0之后，判断其是否为0来判断是否是2的幂。

a=a&(a-1)

8、将最右边的0置1

类似的，加上1将最右边的0开始的所有位取反，A | ~A = 1;

a=a|(a+1)

9、位运算实现加法和乘法

加法：同时为位0可以不考虑；同时为1的位的和用 x&y标记，然后进位用左移1位实现，得到结果x1；相异位和用x^y实现，结果为y1；重复，知道最终结果进位为0，结果即为yn。描述上用递推最好实现。

  x + y=(x&y<<1) + x^y

乘法：a 乘以 2^n相当于 a<< n; 将b从最低位开始，如果是1， 将a左移对应的位数；将乘法转化为加法实现。

10、求相反数

由于一个数和其按位取反之后的和为全1 , 所以a的相反数的表示为(计算机表示):

~a+1

实际上, 由于计算机内全是补码, 补码的加法需带符号位进行, 如果符号位向前有进位, 舍弃进位 . 对于负数补码的求法, 就是其对应正整数的相反数.