最小乘车费用(dp水题)

描述

 

某条街上每一公里就有一汽车站,乘车费用如下表:

公里数 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
费用 12 21 31 40 49 58 69 79 90 101

而一辆汽车从不行驶超过10公里。某人想行驶n公里,假设他可以任意次换车,请你帮他找到一种乘车方案使费用最小(10公里的费用比1公里小的情况是允许的)。

编一程序算出最小的价格;

输入

输入文件共两行,第一行为10个不超过200的整数,依次表示行驶1~10公里的费用,相邻两数间用空格隔开; 第二行为某人想要行驶的公里数n(n<=1000)。

输出

输出文件仅一行包含一个整数,表示该测试点的最小费用。

输入样例 1

12 21 31 40 49 58 69 79 90 101 
15 

输出样例 1

147

 

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstdlib>
#include<cmath>
#include<cstring>
#include<algorithm>
using namespace std;

int f[25],dp[205];
int n;
int main()
{
    memset(dp,127,sizeof(dp));
    for(int i=1; i<=10; i++)
        cin>>f[i];
    cin>>n;
    dp[0]=0;
    dp[1]=f[1];
    for (int i=2; i<=n; i++)
    {
        dp[i]=dp[i-1]+f[1];
        for (int j=1; j<=10 && j<=i; j++)
            dp[i]=min(dp[i],dp[i-j]+f[j]);
        //cout<<dp[i]<<"  ";
    }
    cout<<dp[n]<<endl;

    return 0;
}

在dp问题中外层循环为状态的个数,内层循环为可选的方案数。

注意:

如果换了,结果会变成150

### 关于最优乘车的动态规划解法 对于最优乘车,可以采用维加(1D+1D) 的状态转移方程来求解。这类问通常涉及两个维度的变化:个是当前所处的位置或站点,另个是时间或其他资源消耗。 #### 定义状态变量 设 `dp[i][j]` 示到达第 i 个车站,在时刻 j 到达所需的最小费用或最短时间。这里假设输入数据已经按照时间和空间顺序排列好。 #### 初始化边界件 初始化时考虑起始位置的情况,比如从起点出发的时间和成本设置为已知值。其他未访问过的节点则赋予无穷大示不可达: ```python import math n, m = map(int, input().split()) # n 是车站数量,m 是最大允许等待时间 costs = [[math.inf] * (m + 1) for _ in range(n)] # costs[i][j] 示在第i站停留到第j分钟的成本/时间 ``` #### 状态转移逻辑 核心在于构建合理的状态转换关系。当乘客处于某个特定地点并决定乘坐某辆车前往下个目的地时,会涉及到两种可能的选择——立即上车或是稍后再走。因此,状态转移方程如下所示: \[ dp[i][t]=\min(dp[i-1][k]+c_{ik}, \text{for all } k<t)\] 其中 \( c_{ik} \) 示从第 i-1 车站移动至第 i 车站在 t 时间内的花费或者所需时间[^1]。 为了简化计算过程,还可以引入辅助数组记录前驱信息以便最后回溯路径。 #### Python 实现代码片段 下面给出段简单的 python 伪代码用于说明上述思路的具体实现方式: ```python def min_cost_to_reach_station(cost_matrix): """ :param cost_matrix: A list of lists where each sublist represents the time/cost to reach next station at different times. Each element is a tuple like (time, cost). :return: Minimum total travel cost/time and path taken as tuples [(station_index, arrival_time), ...]. """ num_stations = len(cost_matrix) # Initialize DP table with infinity except starting point which has zero initial cost/time. dp = [[(float('inf'), None) for _ in range(m + 1)] for __ in range(num_stations)] dp[0][0] = (0, (-1, -1)) for curr_station in range(1, num_stations): for prev_arrival_time in range(m + 1): if dp[curr_station - 1][prev_arrival_time][0] != float('inf'): for new_departure_time, transfer_cost in cost_matrix[curr_station]: actual_transfer_time = max(prev_arrival_time + 1, new_departure_time) if actual_transfer_time <= m: potential_new_value = ( dp[curr_station - 1][prev_arrival_time][0] + transfer_cost, (curr_station - 1, prev_arrival_time), ) if potential_new_value < dp[curr_station][actual_transfer_time]: dp[curr_station][actual_transfer_time] = potential_new_value best_final_state = min((v for v in dp[-1]), key=lambda x:x[0]) return reconstruct_path(best_final_state, dp) def reconstruct_path(final_state, dp_table): result = [] current_pos = final_state while current_pos[1] is not None: result.append(current_pos[::-1]) # Reverse because we're backtracking from end to start current_pos = dp_table[current_pos[1][0]][current_pos[1][1]] result.reverse() return result if __name__ == "__main__": pass # Replace this line with your test cases or main function logic here. ``` 此段代码展示了如何利用动态规划算法解决最优乘车,并且实现了基于给定参数矩阵的维加维状态转移方案。注意实际应用中需要根据具体场景调整细节部分,例如输入格式解析、边界处理等。
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