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JAVA:

import java.math.BigInteger;
import java.util.Scanner;

public class Main {
	private static Scanner cin = new Scanner(System.in);
	public static void main(String[] args) {
		int n;
		while(cin.hasNext()){
			n = cin.nextInt();
			BigInteger bigint= new BigInteger("1");
			System.out.println("0! = 1");
			for(int i = 1; i <= n; i++){
				String temp = Integer.toString(i);
				bigint = bigint.multiply(new BigInteger(temp));
				System.out.println(i+"! = "+bigint);
			}
			System.out.println();
		}
	}
} 

Python:

while True: 
    n = input()
    sum=1
    print "0! = 1"
    for i in range(1,n+1):
          sum*=i
          print str(i)+"! = "+str(sum)
    print
exit


09-03
在编程和算法领域,n 的阶乘(n!)有着广泛的应用和不同的实现方式。 ### 应用场景 - **组合数学**:在计算组合数时,n! 是重要的组成部分。组合数公式 $C_{n}^k = \frac{n!}{k!(n - k)!}$ 用于计算从 n 个不同元素中取出 k 个元素的组合方式数量,在排列组合问题、概率计算等方面有广泛应用 [^3]。 - **动态规划**:在解决一些动态规划问题时,阶乘可能作为状态转移方程的一部分出现,帮助计算问题的解 [^3]。 - **算法复杂度分析**:n! 常出现在算法复杂度的分析中,例如某些暴力搜索算法的时间复杂度可能达到 O(n!),用于衡量算法的效率 [^3]。 ### 实现方式 #### 递归实现 递归是一种直接根据阶乘定义实现的方法。阶乘的定义为:$n! = n\times(n - 1)!$,当 $n = 0$ 或 $n = 1$ 时,$n! = 1$。以下是 Python 代码示例: ```python def factorial_recursive(n): if n == 0 or n == 1: return 1 else: return n * factorial_recursive(n - 1) ``` 递归实现的优点是代码简洁直观,易于理解,但缺点是在递归调用过程中,涉及到内存中自身程序的多重复制,运行效率较低,同时也存在程序运行中调用栈溢出的风险 [^2][^3]。 #### 迭代实现 迭代实现通过循环的方式,从 1 开始逐步累乘到 n,避免了递归调用带来的问题。以下是 Python 代码示例: ```python def factorial_iterative(n): result = 1 for i in range(1, n + 1): result *= i return result ``` 迭代实现的优点是运行效率高,不会出现栈溢出的问题,缺点是代码相对递归实现不够直观 [^2]。 #### 高精度计算 当 n 较大时,普通的数据类型可能无法存储 n! 的结果,需要使用高精度计算方法。在 Python 中,可以使用 `decimal` 模块进行高精度计算。以下是代码示例: ```python from decimal import Decimal def factorial_high_precision(n): result = Decimal(1) for i in range(1, n + 1): result *= Decimal(i) return result ``` ### 优化算法 在计算大数阶乘时,可以使用 Karatsuba 算法等优化乘法操作,提高计算效率。Karatsuba 算法是一种快速乘法算法,通过分治思想将大整数乘法转化为多个小整数乘法,减少乘法运算的次数。以下是一个简单的示意代码: ```python def KaratsubaMultiply(x, y): # 具体实现细节省略 pass def factorial_optimized(n): result = 1 for i in range(1, n + 1): result = KaratsubaMultiply(result, i) return result ```
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