扩展欧几里德学习

首先

扩展欧几里德算法的应用主要有以下三方面：

（1）求解模的逆元；

（2）求解不定方程；

（3）求解模线性方程（线性同余方程）；

扩展欧几里德

<span style="font-size:18px;">void exgcd(ll a,ll b,ll &d,ll &x,ll &y)
{
	if (b==0){d=a;x=1;y=0;return;}
	else{exgcd(b,a%b,d,y,x);y-=x*(a/b);}
}</span>

1.求模下的逆元

<span style="font-size:18px;">ll inv(ll a,ll n)//要求的数a，和mod
{
	ll d,x,y;
	exgcd(a,n,d,x,y);
	if (d!=1) return -1;//如果他们不互质，则无解
	else return (x%n+n)%n;//有可能有负的，且要找最小的答案，所以这样模，记住这里
}</span>

例题hdu1576

<span style="font-size:18px;">#include<cstdio>
#include<algorithm>
#define ll __int64
using namespace std;

ll a,n,b,x,y,d;
void exg(ll a,ll b,ll &d,ll &x,ll &y)
{
	if (b==0){d=a;x=1;y=0;return;}
	exg(b,a%b,d,y,x);y-=x*(a/b);
}
ll inv(ll a,ll n)
{
	exg(a,n,d,x,y);
	if (d!=1) return -1;
	else return (x%n+n)%n;
}
int main()
{
	int T;
	scanf("%d",&T);
	n=9973;
	while (T--)
	{
		ll A,B;
		scanf("%I64d%I64d",&A,&B);
		printf("%I64d\n",inv(B,n)*A%n);
	}
	return 0;
}</span>

2.求不定方程的解    ax+by=c

要满足gcd（a，b）|c

要求的是 ax+by=c  ，满足非负而且最小的x。

 要满有解，那么必须要满足 c%gcd(a,b)==0.为什么呢？

  { 对于gcd(a,b),我们可以知道 a%gcd(a,b)==b%gcd(a,b)==0;最大公约数的知识啊。

  显然  (ax+bx) %gcd(a,b)==0  如果等式成立,左边和右边能够相等，那么c%gcd(a,b)==0.}

对于ax+by=gcd(a,b)的通解满足

   x=x0+b/gcd(a,b)*t;

   y=y0-a/gcd(a,b)*t;     （t为任意整数）

第一步 ： 知道了ax+by=gcd(a,b)，那么对于ax+by=c，只要再x和y 乘c/gcd(a,b)。

   原先的x0 转变成 x1=x0*c/gcd(a,b);

   ax+by=c的通解就可以写成

   x=x1+b/gcd(a,b);//因为x1也是通过一个基础的数不断加（b/gcd（a，b））得到的，所以可以mod （b/gcd（a，b））得到

第二步 ： 要得到最小非负x的值.

   更加x=x1+b/gcd(a,b); 那么满足 x=x%(b/gcd(a,b)）; if （x<0） x=x+b/gcd(a,b);

不定方程（bdfc）求解

ll bdfc(ll a,ll b,ll c)//ax+by=c
{
	exg(a,b,d,x,y);
	if (c%d) return -1;
	int k=c/d;
	x=x*k;//第一步，先乘
	x=x%(b/d);//第二步，模
	if (x<0)x+=b/d;//第三步，如果是负数，就加上
	y=(c-a*x)/b;//通过<span style="font-family: 微软雅黑, 宋体, Arial; font-size: 15px; line-height: 24px;">ax+by=c  ==>   y=  (c-ax)/b，所以x确定了，y也就确定了</span>
	return 1;
}

3.求解模线性方程 ax≡b (mod n)

ax-kn=b

再求解，反正不能大于n，所以要mod?

ll mfc(ll a,ll b,ll n)
{
	exg(a,n,d,x,y);
	if (b%d) return -1;
	x=x*c/d;
	x=(x%n+n)%n;//<strong><span style="font-size:24px;">这里一定要mod n </span></strong>
	for (int i=1;i<=d;i++)
	printf("%lld ",(x+(n/d)*i)%n);//<strong><span style="font-size:24px;">这里也是mod n</span></strong> ，求出多个解
	return 1;
}