11.3 排列和组合的产生（无重集元素）

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11.3 排列和组合的产生（无重集元素）

(1) 全排列

(2) 一般组合

(3) 全组合

(4) 由上一排列产生下一排列

(5) 由上一组合产生下一组合

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11.3 排列和组合的产生（无重集元素）

int item[N]; // 第i位要放置的数字
bool used[N];
int n,m;

(1) 全排列

将 n 个数字 1～n 进行排序，有多少种排序方法？
使用深度优先搜索，对 n 个位置逐个进行试探。时间复杂度为 O(n!)。

void combination(int depth, int p)
{
if (depth==m)
{
// print(); // 输出结果
return;
}
for (int i=p+1 ; i<n-(m-depth) ; i++)
{
// 由于后面的元素一定前面的大，所以不需要标记used了。
item[depth]=i;
try(depth+1);
}
}
combination(0,0);

(2) 一般组合

从 n 个元素 1～n 中任取 m 个元素，有多少种取法？
一个合法的组合有这样一个特点：排在右面的数字一定严格大于左面的数字。比如说某一位上取了 3，那么从 4 开始搜索下一位就可以了。

void full_ permutation(int depth)
{
if (depth==n)
{
// print(); // 输出结果
return;
}
for (int i=0; i<n; i++)
if (!used[i])
{
used[i]=true;
item[depth]=i+1;
try(depth+1);
used[i]=false; // 别忘记清除”使用”标记
}
}

(3) 全组合

输入 n 个数，求这 n 个数构成的集合的所有非空子集。
和一般组合不同，这次只要产生一个解，就马上输出。 

void full_combination(int l, int p)
{ 
for (int i=0; i<l; i++) // 每次进入递归函数都输出
cout<<item[i]<<" "; 
cout<<endl; 
for (int i=p; i<n; i++)
{ 
item[l] = i; // 在l位置放上该数
full_combination(l+1, i+1); // 填下一个位置
} 
}
full_combination(0, 0);

注意：对于一个整数，每一位不是 0 就是 1，所以可以用整数来表示一个集合。具体实例可参见 “2.8Healthy Holsteins”。

(4) 由上一排列产生下一排列

① 从右往左寻找第一个小于右边的数，位置为 j。
② 在 j 位置的右边寻找大于 aj的最小数字 ak（位置 k）
③ 将 aj 与 ak的值进行交换
④ 将数列的 j+1 位到 n 位倒转。

int a[N]; // 初始化：a[i]是字典序最小的排列, 0≤i＜N
int j,k, p,q, temp;
j=(n-1) - 1;
while ((j>=0)&&(a[j]>a[j+1])) j--; // 从右往左寻找第一个小于右边的数，位置为j。
if (j>=0) // 如果j<0说明已经排完了。
{
k=n-1;
while (a[k]<a[j]) k--; // 在j位置的右边寻找大于aj的最小数字ak（位置k）
swap(a[j], a[k]); // 将aj与ak的值进行交换
for (p=j+1,q=n-1; p<q; p++,q--) // 将数列的j+1位到n位倒转
swap(a[p], a[q]);
}

STL 中有与此相同的算法。头文件为<algorithm>。
next_permutation(序列第一项的地址, 序列最后一项的地址+1)：产生下一排列。
prev_permutation(序列第一项的地址, 序列最后一项的地址+1)：产生上一排列。
这两个函数能够用于可重集的排列。

(5) 由上一组合产生下一组合

① 从右向左寻找可以往下取一个元素的数，位置为 j。
 （举个例子：从 7 个数中取 4 个数，有一个组合为 1367，那么 6、7 就不能再往下取了）
② 数列的 j 位到 n 位重新取元素。
注意：
① 从 N 个连续元素中取 M 个元素。如果元素序号不连续，就需要修改下面的“+1”。
② 右侧的数字一定严格大于左侧的数字。

int a[M]; // 初始化：a[i]是字典序最小的排序, 0≤i＜M，1≤a[i]≤N
……
int j=m-1;
while ((j>=0)&&(a[j]==n-(m-1 -j))) j--;
if (i>=0)
{
a[j]++;
for (int k=j+1; k<m; k++) a[k]=a[k-1]+1;
}