第五单元 分治算法 5.1 一元三次方程求解5.2 快速幂 5.3 排序

第五单元 分治算法

5.1 一元三次方程求解

【问题描述】有形如 ax3＋bx2＋cx＋d＝0 这样的一个一元三次方程。给出该方程中各项的系数（a，b，c，d 均为实数），并约定该方程存在三个不同实根（根的范围在-100 至 100 之间），且根与根之差的绝对值≥1。
要求由小到大依次在同一行输出这三个实根（根与根之间留有空格），并精确到小数点后 4 位。
【分析】
记方程为 f(x)＝0，若存在 2 个数 x1和 x2，且 x1＜x2，f(x1)·f(x2)＜0，则在(x1，x2)之间一定有一个根。
如果保留小数点后 2 位，则可以从-100.00 到 100.00 进行枚举，步长 0.01，然后取使 f(x)最接近 0的三个数。
当已知区间(a,b)内有一个根时，可用二分法求根。若区间(a,b)内有根，则必有 f(a)·f(b)＜0。重复执行如下的过程：

令 m＝(a＋b)÷2，
(1) 若 a＋0.0001>b 或 f(m)＝0，则可确定根为 m，并退出过程；
(2) 若 f(a)·f(m)＜0，则根在区间(a,m)中,故对区间重复该过程；
(3) 若 f(a)·f(m)＞0，则必然有 f(m)·f(b)＜0,根在(m,b)中,对此区间重复该过程。

执行完毕，就可以得到精确到 0.0001 的根。
所以，根据“根与根之差的绝对值≥1”，我们先对区间[-100,-99]、[-99,-98]……[99,100]进行枚举，确定这些区间内是否有解，然后对有解的区间使用上面的二分法。这样就能快速地求出所有的解了。

5.2 快速幂

用朴素算法求时间复杂度为 O(n)。能不能更快一些？
以为例。我们知道，求一个数的平方是很快的，因为不用循环。那么