数据结构实验之排序五:归并求逆序数

本文介绍如何利用归并排序算法高效计算一个整数序列的逆序数。通过递归地将序列拆分为更小的部分,然后在合并过程中计算逆序数,实现了O(n log n)的时间复杂度。

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数据结构实验之排序五:归并求逆序数

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题目描述

对于数列a1,a2,a3…中的任意两个数ai,aj (i < j),如果ai > aj,那么我们就说这两个数构成了一个逆序对;在一个数列中逆序对的总数称之为逆序数,如数列 1 6 3 7 2 4 9中,(6,4)是一个逆序对,同样还有(3,2),(7,4),(6,2),(6,3)等等,你的任务是对给定的数列求出数列的逆序数。

输入

输入数据N(N <= 100000)表示数列中元素的个数,随后输入N个正整数,数字间以空格间隔。

 

输出

输出逆序数。

示例输入

10
10 9 8 7 6 5 4 3 2 1

示例输出

45

提示

 

归并(Merge)排序法是将两个(或两个以上)有序表合并成一个新的有序表,即把待排序序列分为若干个子序列,每个子序列是有序的。然后再把有序子序列合并为整体有序序列。

归并排序是建立在归并操作上的一种有效的排序算法。该算法是采用分治法(Divide and Conquer)的一个非常典型的应用。

将已有序的子序列合并,得到完全有序的序列;即先使每个子序列有序,再使子序列段间有序。若将两个有序表合并成一个有序表,称为2-路归并。

 归并操作(merge),也叫归并算法,指的是将两个已经排序的序列合并成一个序列的操作。 如 设有数列{6,202,100,301,38,8,1}
 
如:初始状态: [6] [202] [100] [301] [38] [8] [1] 比较次数
 

  i=1 [6 202 ] [ 100 301] [ 8 38] [ 1 ] 3

 

  i=2 [ 6 100 202 301 ] [ 1 8 38 ] 4

 

  i=3 [ 1 6 8 38 100 202 301 ] 4

 

 

归并排序是将数列a[l,h]分成两半a[l,mid]和a[mid+1,h]分别进行归并排序,然后再将这两半合并起来。

在合并的过程中(设l<=i<=mid,mid+1<=j<=h),当a[i]<=a[j]时,并不产生逆序数;当a[i]>a[j]时,在

前半部分比a[i]大的数都比a[j]大,将a[j]放在a[i]前面的话,逆序数要加上mid+1-i。因此,可以在归并

序中的合并过程中计算逆序数.


#include<stdio.h>
#define MaxN 100000
int a[MaxN],r[MaxN];
int n,m;
long long sum;
void Merge(int low,int mid,int high)    //二路归并算法
{
    int i=low,j=mid+1,k=0;
    while(i<=mid&&j<=high)
    {
        if(a[i]<=a[j])                  //比较后较小的元素存入r数组
            r[k++]=a[i++];
        else
        {
            r[k++]=a[j++];
            sum+=mid-i+1;
        }
    }
    while(i<=mid)
        r[k++]=a[i++];
    while(j<=high)
        r[k++]=a[j++];
    for(i=0; i<k; i++)    //将r中元素考回原数组
        a[i+low]=r[i];
}
void MergeSort(int low,int high)          //自顶向下的二路归并排序
{
    if(low<high)
    {
        int mid=(low+high)/2;
        MergeSort(low,mid);
        MergeSort(mid+1,high);
        Merge(low,mid,high);
    }
}
int main()
{
    scanf("%d",&n);
    sum=0;
    for(int i=0; i<n; i++)
        scanf("%d",&a[i]);
    MergeSort(0,n-1);
//        for(int i=0; i<n; i++)
//            printf("%d%c",a[i],i==n-1?'\n':' ');
    printf("%lld\n",sum);
    return 0;
}

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