51nod 1126 求递推序列的第N项

最新推荐文章于 2018-10-28 12:02:50 发布

原创最新推荐文章于 2018-10-28 12:02:50 发布 · 136 阅读

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本文探讨了一道算法题目中使用矩阵快速幂求解的复杂性，以及通过观察数列周期性简化问题的方法。作者详细解释了如何利用(f[n-2],f[n-1])的状态来发现数列的循环规律，指出常见错误并提出正确的打表策略。

这道题是好几个月前周赛做的，当时敲了很久的矩阵快速幂，结果打完别人告诉我可以用打表做……

因为每一项都只由前两项决定，所以我们不妨用(f[n-2],f[n-1])来表示f[n]。如果(f[n-2],f[n-1])这个状态在之前出现过那么后面一定就会重复前面的循环。而前两项只有7*7=49种，所以最多50项开始就会出现循环，并且周期的上界是49。

但是网上能搜到的打表题解基本都是错的，我当时找了不少都能被我hack掉，因为这道题数据实在是太水了……我打表的做法改了很多次，每次都能AC但是对拍还是会拍出错误。

网上打表的做法主要错误有两个：

1循环到49项就退出循环。好吧其实我根本不知道为什么他们要在49之后退出循环。(f[n-2],f[n-1])最多有49种可能，但这并不代表到了49没有找到周期周期就是49。

2找到周期t后认为答案是f[n%t]。这也是我犯过的错误。数列有周期并不代表第一项一定在周期里，可能是从某一项开始才开始循环。比如对于某组a,b可能x->(y->z->y->z...)

我的做法是用一个used数组来记录出现过的(f[n-2],f[n-1])，并且用一个变量start来记录循环开始的位置，最后的答案就是f[(n-start)%t + start]，这个做法对拍了很久应该是没有问题的了。

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;

int main()
{
	int used[7][7];
	int n,a,b;
	cin >> a >> b >> n;
	if(n==1||n==2){
		cout << 1 << endl;
		return 0;
	}
	int f[100],t,start;
	memset(used,0,sizeof(used));
	f[1]=f[2] = 1;
	for(int i = 3;;i++)
	{
		f[i] = (a*f[i-1]+b*f[i-2])%7;
		f[i] = (f[i]+7)%7;
		if(!used[f[i]][f[i-1]])used[f[i]][f[i-1]] = i;
		else {
			t = i - used[f[i]][f[i-1]];
			start = used[f[i]][f[i-1]];
			break;
		}
	}
	cout << f[(n-start)%t + start] << endl;
}