AVL树的C++实现（1）

为什么要AVL
在之前的介绍的二分搜索树中，我们发现它查找、添加、删除元素的复杂度为$O(logn)$级别，但是在某些特殊情况下，比如在添加1，2,3,4,5,6时，你期望能够添加完成为左边的树，但是如果按顺序添加就会退化成链表，复杂度变为$O(n)$级别。此时这种二叉树就成为一种不平衡二叉树，而AVL树就是解决这种不平衡二叉树一种方法。


平衡二叉树从字面上理解就是这棵树要尽量的平衡。但是对于平衡有不同的定义，比如之前说的堆，它是一棵完全二叉树，空缺部分只能出现在右下角，这种平衡二叉树除了最后一层其它层必须是是满二叉树。而AVL中对于平衡二叉树的定义是对于每个节点，它的左右子树高度差不能超过1。

就像这棵树，虽然18节点只有一个叶子节点，但是所有节点的左右子树都是满足高度差不超过1的。此时如果继续往左边添加节点，就会发现不满足上述条件。


此时为了判断加入新节点后是否满足上述条件，需要记录每个节点的高度，并且计算左右子树的高度差。假设最底下一层高度为1，如果没有子树则子树高度为0。那么可以得到上述二叉树的高度差，可以发现存在高度差为2的节点，那此时就需要对二叉树进行相应的维护，使其满足平衡二叉树。

右旋转、左旋转
如果添加的节点处于左侧的左侧，也就是节点一直往左边添加。此时需要采用右旋转对二叉树进行维护。假设在添加元素$z$时各子树如图所示，各子树与x,y,z的关系如图所示。在进行右旋转时，另$x.right=y$,$y.left=T3$，经过旋转后仍然满足二叉搜索树的条件。



下面证明此二叉树满足平衡二叉树的条件。因为在加入z节点后才y才出现不平衡情况，那么x,z是平衡的。假设$maxHeight(T1,T2)=h$，那$height(z)=h+1$，因为x节点也是平衡的且$0<=height(x.left,x.right)<=1$，那么$height(T3)=h+1或h$。因为节点y左右子树不平衡，所以节点y处的高度差为2，从而$height(T4)=h$。那么经过右旋转后的高度如右图所示，因为高度差改变的只有y和x节点，所以只需要计算y和x的节点即可。$height(y)=h+1或h+2$,$height(z)=h+1$，所以x的高度差是不超过1的，满足AVL平衡二叉树的条件。（这段推理有点麻烦，大家用笔自己算下就可以了）。

理解了右旋转，那么左旋转也很好理解了。就是在添加元素时一直添加在右子树，通过左旋转就可以维护平衡。


感觉东西有点多，就先到这里，剩下的内容和编码实现在下一篇更新了。