最小二乘法和梯度下降法的相同点和异同点

最新推荐文章于 2024-10-10 11:48:04 发布
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本文探讨了最小二乘法与梯度下降法这两种常用的数值优化方法之间的异同。它们都用于根据已知数据拟合模型并预测未知数据，但实现方式和效果有所不同。最小二乘法直接通过求导寻找全局最优解，而梯度下降法则通过迭代逐步逼近局部最小值。

 相同


　　1.本质相同：两种方法都是在给定已知数据（independent & dependent variables）的前提下对dependent variables算出出一个一般性的估值函数。然后对给定新数据的dependent variables进行估算。
　　2.目标相同：都是在已知数据的框架内，使得估算值与实际值的总平方差尽量更小（事实上未必一定要使用平方），估算值与实际值的总平方差的公式为：


 

 不同
　　1.实现方法和结果不同：最小二乘法是直接对\Delta求导找出全局最小，是非迭代法。而梯度下降法是一种迭代法，先给定一个\beta ，然后向\Delta下降最快的方向调整\beta ，在若干次迭代之后找到局部最小。梯度下降法的缺点是到最小点的时候收敛速度变慢，并且对初始点的选择极为敏感，其改进大多是在这两方面下功夫。

详解回归分析中相关变量选择的方法和构建思想——岭回归、LASSO 回归、主成分回归和偏最小二乘回归
从事脑科学核磁共振方法学研究，在Nature communications等权威期刊发表研究论文，熟练掌握磁共振处理方法和统计学方法，欢迎大家和我交流。
12-26 2379
在线性回归模型中，其参数估计公式为 $\beta=\left(X^{T} X\right)^{-1} X^{T} y,$ 当 $X^{T} X$ 不可逆时无法求出 $\beta,$ 另外,如果 $\left|X^{T} X\right|$ 越趋近于 $0,$ 会使得回归系数趋向于无穷大, 此时得到的回归系数是无意义的。解决这类问题可 以使用岭回归、LASSO 回归、主成分回归、偏最小二乘回归, 主要针对自变量之间存在多重共线性或者自变量个数多于样本量的情况。
视觉SLAM十四讲学习笔记-第六讲-非线性优化的实践-高斯牛顿法和曲线拟合
weixin_36773706的博客
01-13 2407
专栏系列文章如下： 视觉SLAM十四讲学习笔记-第一讲_goldqiu的博客-优快云博客 视觉SLAM十四讲学习笔记-第二讲-初识SLAM_goldqiu的博客-优快云博客 视觉SLAM十四讲学习笔记-第二讲-开发环境搭建_goldqiu的博客-优快云博客 视觉SLAM十四讲学习笔记-第三讲-旋转矩阵和Eigen库_goldqiu的博客-优快云博客 视觉SLAM十四讲学习笔记-第三讲-旋转向量、欧拉角、四元数_goldqiu的博客-优快云博客 视觉SLAM十四讲学习笔记-第三讲-相..
学习日志（十）：最小二乘法和梯度下降算法的联系与区别
weixin_44825185的博客
06-15 1379
在一篇博文中看到把最小二乘法和梯度下降算法放在一起进行比较，当时就一脸懵逼晕倒，但是醒来还是要搞清楚的。关于二者的关系，结合网上不同的说法我给出我的理解： 联系 最小二乘法（又称最小平方法）是一种数学优化技术或者说是一种优化准侧。它通过最小化误差的平方和寻找数据的最佳函数匹配。利用最小二乘法可以简便地求得未知的数据，并使得这些求得的数据与实际数据之间误差的平方和为最小。最小二乘法还可用于曲线拟合。其他一些优化问题也可通过最小化能量或最大化熵用最小二乘法来表达。 梯度下降法是一个最优化算法，通常也称为最速下
最小二乘与梯度下降的关联与区别
wy的点滴
06-18 1373
共同点两者都是求下图等式的极值： 最小二乘最小二乘直接对其中每个θ求偏导数，如下图： 如上图可以看出，其不需要迭代计算。梯度下降经变换后算法： α为步长。以上为迭代算法，缺点是在接近最小点时，收敛变慢。 附矩阵形式的算法，为非迭代： X向量是训练集的特征向量，Y向量是训练集的真实值向量
一些关于最小二乘法
magicli20的专栏
09-01 928
今天在回头看logistic回归的时候，无意中看到了最小二乘法，突然之间好像对概率的一些基本概念有了一层新的了解，下面就来总结下这个问题。          假设我讨论的是个简单的线性回归，                                                                             y为output, 为input，为我要训练的参数
总结一下Hough变换和最小二乘法的异同
qq_29679623的博客
09-14 2774
面试常见的问题之一，hough变换和最小二乘法的区别是什么（相似之处）？ **从相似点考虑，**Hough变换和最小二乘法都是常见的直线检测、直线拟合方式之一，他们都是从一些点里，找到能够拟合这些点最好的直线。 不同点呢： 1、最小二乘法是统计学方法，常用于数据统计和数值分析方面，而Hough变换则是传统的图像处理方法，是从二维的图像入手的。 2、最小二乘法拟合的是一条直线，且只能拟合一条直线；而...
梯度与梯度下降法
热爱编程，热爱技术
05-16 390
转自WangBo
梯度下降: 02. 批量梯度下降BGD，随机梯度下降SGD，小批量梯度下降MBGD
车前猛跑
06-05 1394
本文从原理上介绍了三种梯度下降的方法，相同点，异同点，优缺点。内容包含了数学公式的推导与说明。
【xgboost】面试问答---外加与gbdt & lightgbm & catboost的异同点
凝眸伏笔的博客
04-08 3081
目录 一.xgboost的适用场景: 1.优点 2.刨根问底 1. 简单介绍一下XGBoost 2. XGBoost与GBDT有什么不同？ 3.XGBoost为什么使用泰勒二阶展开？ 4.XGBoost为什么可以并行训练？ 5.XGBoost为什么快？ 1.xgboost与三者的异同点汇总： 算法上区别： 2.xgboost与lightgbm的异同点： 3.xgboost......
算法知识点——（3）监督学习——逻辑回归与线性回归
Lynqwest的博客
09-10 1369
目录 一、线性回归 1. 原理推导 1.1算法概述 1.2误差项分析 1.3似然函数 1.4目标函数推导 1.5线性回归求解 2. 特点 3. 广义线性回归 二、逻辑回归 1. 原理推导 1.1 Logistic 分布 1.2 逻辑回归分类任务 1.3 似然函数 1.4 应用梯度下降求参数 1.5 参数更新 2. 特点 3. 多分类逻辑回归 4. 极...
Python-多元线性回归方程比较最小二乘法与梯度下降法
01-21
最小二乘法是先将方程自变量与因变量化为系数矩阵X，再求该矩阵的转置矩阵（X1），接着求矩阵X与他的转置矩阵的X1的乘积（X2），然后求X2的逆矩阵。最后整合为系数矩阵W，求解后分别对应截距b、a1、和a2。可见计算一个矩阵的逆是相当耗费时间且复杂的,而且求逆也会存在数值不稳定的情况。 梯度下降法迭代的次数可能会比较多,但是相对来说计算量并不是很大。且其有收敛性保证。故在大数据量的时候,使用梯度下降法比较好。 梯度下降法 import numpy as np from matplotlib import pyplot as plt from mpl_toolkits.mplot3d import
最优化方法——最小二乘法与梯度下降法
转载请标明出处，完整项目/代码详见github：https://github.com/yiru1225
12-26 1万+
本篇博客主要介绍最小二乘法、梯度下降法的原理与流程，分别使用Matlab、Pycharm分别实现了最小二乘法、不同迭代停止条件的梯度下降法等方法对给定优化模型进行求解并进行解之间的误差分析对比，并进行了一定理论与应用（内附数据集和python及matlab代码）。
梯度下降与最小二乘法的区别（详解）
hu_666666的博客
10-08 4781
两种方法都是在已知数据的框架内，使得估算值与实际值的总平方差尽量更小(事实上，在梯度下降时会更倾向于使用均方差，即总方差除以样本数，以避免损失值过大的问题。（1）实现方法不同。最小二乘是通过对自变量和因变量进行数学变换求导，直接到达最低点，不需要透代（不给参数θ的值，直接求出最优θ）；而梯度下降是先估计一组参数，然后按照梯度的反方向修正参数，反复迭代获取最低点（给参数θ的值，逐步得到最优θ）。最小二乘是1（找到解）或者0（矩阵不可求逆，无解）的问题；而梯度下降则是结果是0.x（对精确解逐步逼近1）的问题。
最小二乘法和梯度下降法有哪些区别？
HappinessSourceL的博客
09-12 1992
https://www.zhihu.com/question/20822481 最小二乘法的目标：求误差的最小平方和，对应有两种：线性和非线性。线性最小二乘的解是closed-form即，而非线性最小二乘没有closed-form，通常用迭代法求解。 迭代法，即在每一步update未知量逐渐逼近解，可以用于各种各样的问题（包括最小二乘），比如求的不是误差的最小平方和而是最小立方和。 梯度下降...
最小二乘法与梯度下降法的区别
热门推荐
sinat_27652257的博客
06-11 1万+
最小二乘法与梯度下降法的区别？ - 优快云博客  https://blog.youkuaiyun.com/qq_27514297/article/details/53508149狭义的最小二乘法：指的是在线性回归下采用最小二乘准则（或者说叫做最小平方），进行线性拟合参数求解的、矩阵形式的公式方法。所以，这里的（最小二乘法）应叫做（最小二乘算法）或者（最小二乘方法，百度百科【最小二乘法】词条中对应的英文为（T...
最小二乘法和梯度下降法求解多元线性回归的区别
jjikyour的博客
10-10 369
缺点：需要选择合适的学习率，可能会陷入局部最小值。解析解法：通过矩阵运算直接求解，计算回归系数。迭代法：逐步调整回归系数，最小化损失函数。优点：适合大数据集和高维空间，计算效率高。缺点：大数据集时计算量大，内存消耗高。优点：快速准确，特别适合小数据集。最小二乘法：小规模数据，直接求解。梯度下降法：大规模数据，迭代求解。
举例说明梯度下降算法与最小二乘法的区别
技术原始积累
06-24 483
梯度下降算法和最小二乘法都是用于求解线性回归问题中参数的优化方法。我们可以通过一个简单的例子来说明它们之间的区别。假设我们有以下数据点：(1, 2)，(2, 3)，(3, 4)，(4, 5)，我们希望找到一条最佳拟合线 y = wx + b，使得预测值与真实值之间的误差最小。首先定义一个损失函数（均方误差）：L(w, b) = 1/n * Σ(yi - (wxi + b))^2我们的目标是找到 w...
最小二乘法和梯度下降算法的区别
qq_44794961的博客
12-02 426
爱丽丝的开发框架
最小二乘法学习（分享自其他博主）
weixin_30904593的博客
03-03 211
二. 最小二乘法 我们以最简单的一元线性模型来解释最小二乘法。什么是一元线性模型呢？监督学习中，如果预测的变量是离散的，我们称其为分类（如决策树，支持向量机 等），如果预测的变量是连续的，我们称其为回归。回归分析中，如果只包括一个自变量和一个因变量，且二者的关系可用一条直线近似表示，这种回归分析称为一 元线性回归分析。如果回归分析中包括两个或两个以上的自变量，且因变量和自变量之...
最小二乘法和梯度下降法
最新发布
08-12
<think>首先，用户的问题是关于最小二乘法和梯度下降法的原理、优缺点以及它们之间的区别。我需要基于系统级指令和用户可见层的指导来构建回答。 系统级指令： - 所有行内数学表达式必须使用$...$格式。 - 独立公式必须使用$$...$$格式并单独成段。 - LaTeX语法正确。 - 使用中文回答。 - 生成相关问题。 - 回答中引用的段落末尾自然地添加引用标识，例如[^1]。 用户可见层： - 回答结构清晰，帮助用户逐步解决问题。 - 尽量保证回答真实可靠。 - 参考站内引用（提供的引用内容）。 参考站内引用： - [^1]: 最小二乘&梯度下降。不同：实现方法和结果不同：最小二乘法是直接求导找出全局最小，是非迭代法。而梯度下降法是一种迭代法，先给定一个，然后向\Delta下降最快的方向调整，在若干次迭代之后找到局部最小。梯度下降法的缺点是到最小点的时候收敛速度变慢，并且对初始点的选择极为敏感，其改进大多是在这两方面下功夫。 - [^2]: 机器学习：最小二乘法、梯度下降法。最小化损失函数的优化方法...（详细内容见原文）。 - [^3]: 线性回归最小二乘法和梯度下降法。按照最小二乘法，我们直接求出导数为0的点，但是有时候很难解出方程，就考虑使用迭代的方法...。 - [^4]: 最小二乘法与梯度下降（原理）。正规方程是一种用于求解线性回归模型参数的方法...（详细内容见原文）。 用户的问题分解： 1. 最小二乘法：原理、优缺点。 2. 梯度下降法：原理、优缺点。 3. 对比两者。 我需要构建一个结构清晰的回答： - 先介绍最小二乘法。 - 然后介绍梯度下降法。 - 最后对比它们。 - 在适当的地方添加数学表达式。 - 结束时生成相关问题。 确保使用中文回答。 步骤： 1. **最小二乘法原理**： - 最小二乘法用于求解线性回归问题，通过最小化误差平方和来估计参数。 - 数学原理：对于线性模型 $y = X\beta + \epsilon$，目标是找到 $\beta$ 最小化 $S(\beta) = \sum_{i=1}^{n} (y_i - X_i \beta)^2$。 - 通过求导令导数为零：$\frac{\partial S}{\partial \beta} = 0$，得到正规方程：$X^T X \beta = X^T y$。 - 如果 $X^T X$ 可逆，则 $\beta = (X^T X)^{-1} X^T y$。 2. **最小二乘法优缺点**： - 优点：直接求解全局最优解；不需要迭代；数学原理清晰。 - 缺点：计算复杂度高（$O(n^3)$ 对于矩阵求逆）；对多重共线性敏感（$X^T X$ 不可逆时无法求解）；只适用于线性模型。 3. **梯度下降法原理**： - 梯度下降法是一种迭代优化算法，用于最小化损失函数。 - 原理：从初始点开始，沿着损失函数的负梯度方向更新参数，步长由学习率控制。 - 更新公式：$\theta_{j+1} = \theta_j - \alpha \nabla J(\theta_j)$，其中 $\alpha$ 是学习率，$\nabla J$ 是梯度。 - 梯度：对于线性回归，$J(\theta) = \frac{1}{2m} \sum (y_i - h_\theta(x_i))^2$，梯度为 $\nabla J = -\frac{1}{m} X^T (y - X\theta)$。 4. **梯度下降法优缺点**： - 优点：适用于大规模数据集和高维特征；灵活，可用于各种模型（如非线性回归、神经网络）；计算效率高（尤其随机梯度下降）。 - 缺点：可能收敛到局部最优解（对于非凸函数）；需要选择学习率和迭代次数；收敛速度慢；对初始点敏感。 5. **对比**： - 最小二乘法是直接解析法，梯度下降法是迭代法。 - 最小二乘法给出精确解，梯度下降法给出近似解。 - 最小二乘法在数据量小、特征少时高效；梯度下降法在数据量大时更优。 - 最小二乘法对数据条件要求严格，梯度下降法更鲁棒但需要调参。 添加引用： - 在解释时，自然地添加引用标识，如[^1]、[^2]等，基于提供的引用内容。 数学表达式： - 行内：使用$...$，例如$X^T X \beta = X^T y$。 - 独立公式：使用$$...$$并单独成段，例如正规方程。 生成相关问题： - 在最后，像示例一样，添加“相关问题”部分。 回答结构： 1. 引言：简要介绍主题。 2. 最小二乘法部分：原理、优缺点。 3. 梯度下降法部分：原理、优缺点。 4. 对比部分。 5. 相关问题。 确保LaTeX语法正确。</think>### 最小二乘法与梯度下降法的原理、优缺点及对比 最小二乘法和梯度下降法都是用于优化问题的常用方法，尤其在机器学习和统计建模中广泛应用于参数估计（如线性回归）。下面我将逐步解释它们的原理、优缺点，并进行对比分析。回答基于可靠的理论基础，并参考了相关文献[^1][^2][^3][^4]。 --- #### 1. 最小二乘法 **原理**： 最小二乘法是一种直接求解优化问题的解析方法，主要用于最小化误差平方和（即残差平方和）。在线性回归中，假设模型为 $y = X\beta + \epsilon$，其中 $y$ 是因变量向量，$X$ 是设计矩阵，$\beta$ 是参数向量，$\epsilon$ 是误差项。目标是通过最小化损失函数 $S(\beta) = \sum_{i=1}^{n} (y_i - X_i \beta)^2$ 来估计 $\beta$。 - 通过求导令梯度为零： $$\frac{\partial S}{\partial \beta} = 0$$ 得到正规方程（normal equation）： $$X^T X \beta = X^T y$$ 如果 $X^T X$ 可逆，则解为： $$\beta = (X^T X)^{-1} X^T y$$ 这直接给出了全局最优解，无需迭代[^1][^4]。 **优缺点**： - **优点**： - 直接求解全局最优解：对于凸函数（如线性回归的平方损失），最小二乘法保证找到全局最小值，无局部最优风险[^4]。 - 无需迭代：计算一步到位，省去了学习率设置和迭代过程，计算效率高（尤其在小数据集）[^1][^4]。 - 数学原理清晰：基于微积分和矩阵运算，易于理解和推导[^4]。 - **缺点**： - 计算复杂度高：涉及矩阵求逆，时间复杂度为 $O(n^3)$（$n$ 为特征数），对于高维数据（如 $n > 10^4$）内存消耗大，甚至不可行[^4]。 - 对数据条件敏感：要求 $X^T X$ 满秩（无多重共线性），否则矩阵不可逆，需正则化（如岭回归）处理[^4]。 - 适用范围有限：仅适用于线性模型和平方损失函数，无法直接用于非线性问题[^1][^4]。 --- #### 2. 梯度下降法 **原理**： 梯度下降法是一种迭代优化算法，通过沿损失函数梯度的反方向逐步更新参数来最小化损失函数。核心思想是：从初始点 $\theta_0$ 开始，重复应用更新规则： $$\theta_{j+1} = \theta_j - \alpha \nabla J(\theta_j)$$ 其中 $\alpha$ 是学习率（步长），$\nabla J$ 是损失函数 $J(\theta)$ 的梯度。对于线性回归，损失函数常定义为 $J(\theta) = \frac{1}{2m} \sum_{i=1}^{m} (y_i - h_\theta(x_i))^2$（$m$ 为样本数），梯度计算为 $\nabla J = -\frac{1}{m} X^T (y - X\theta)$。算法迭代至收敛（如梯度接近零或达到最大迭代次数）[^2][^3]。 梯度下降有多种变体： - **批量梯度下降（BGD）**：每次迭代使用全部数据计算梯度，稳定性高但慢[^2]。 - **随机梯度下降（SGD）**：每次迭代随机选一个样本更新，速度快但波动大[^2]。 - **小批量梯度下降（Mini-batch GD）**：每次使用一小批样本（batch_size），平衡速度和精度[^2]。 **优缺点**： - **优点**： - 适用性广：可处理大规模数据和高维特征，时间复杂度低（如 SGD 为 $O(n)$），内存效率高[^2][^3]。 - 灵活扩展：适用于非线性模型（如神经网络）和非凸损失函数[^2][^4]。 - 易于实现：只需计算梯度和更新参数，代码实现简单[^2]。 - **缺点**： - 可能收敛到局部最优：对于非凸函数，初始点选择不当会导致局部最优解[^1][^2]。 - 需调参：学习率 $\alpha$ 设置敏感，过大导致震荡或不收敛，过小则收敛慢；还需选择迭代次数和 batch_size[^2][^3]。 - 收敛速度慢：接近最小值时梯度变小，收敛速度下降，且对初始值敏感[^1][^4]。 --- #### 3. 最小二乘法与梯度下降法的对比 | 方面 | 最小二乘法 | 梯度下降法 | 对比说明 | |--------------|--------------------------------|--------------------------------|----------| | **实现方法** | 直接求导解析解（非迭代） | 迭代更新（逐步逼近） | 最小二乘法是封闭解，梯度下降法需迭代[^1]。 | | **解的性质** | 全局最优（凸函数） | 可能局部最优（非凸函数） | 最小二乘法保证全局最优，梯度下降法依赖于初始点[^1][^4]。 | | **计算效率** | 小数据高效，大数据低效（$O(n^3)$） | 大数据高效（如 SGD $O(n)$） | 数据量大时梯度下降法更优，反之最小二乘法更快[^2][^4]。 | | **鲁棒性** | 对多重共线性敏感 | 对数据噪声和共线性更鲁棒 | 梯度下降法通过正则化易处理病态数据[^3][^4]。 | | **适用性** | 仅限线性模型和平方损失 | 广泛（线性/非线性模型） | 梯度下降法更灵活，可扩展至深度学习[^2][^4]。 | | **调参需求** | 无（无需学习率或迭代） | 需调学习率、迭代次数等 | 最小二乘法更简单，梯度下降法需经验调参[^1][^3]。 | **总结**：最小二乘法适合小规模、线性问题，追求精确解；梯度下降法适合大规模、复杂问题，强调灵活性和效率。实际应用中，常结合两者（如先用梯度下降法预处理，再用最小二乘法精调）[^1][^2][^3][^4]。 ---
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