高斯分布的理解

高斯分布 （Gaussian distribution） 又称正态分布（Normal distribution） ，最早由A.棣莫弗在求 二项分布 的渐近公式中得到。C.F.高斯在研究测量误差时从另一个角度导出了它。P.S.拉普拉斯和高斯研究了它的性质。 [1]     是一个在 数学 、物理及工程等领域都非常重要的 概率 分布，在统计学的许多方面有着重大的影响力。

正态曲线呈钟型，两头低，中间高，左右对称因其曲线呈钟形，因此人们又经常称之为 钟形曲线。

若随机变量X服从一个数学期望为μ、方差为σ^2的正态分布，记为N(μ，σ^2)。其概率密度函数为正态分布的期望值μ决定了其位置，其标准差σ决定了分布的幅度。当μ = 0,σ = 1时的正态分布是标准正态分布。

定义：

一维正态分布

若 随机变量

   

服从一个位置参数为

   

、尺度参数为

   

的概率分布，且其 概率密度函数为

则这个 随机变量就称为 正态随机变量，正态随机变量服从的分布就称为 正态分布，记作

   

，读作

   

服从

   

，或

   

服从正态分布。

μ维随机 向量具有类似的概率规律时，称此随机向量遵从多维正态分布。多元正态分布有很好的性质，例如，多元正态分布的边缘分布仍为正态分布，它经任何 线性变换得到的随机向量仍为多维正态分布，特别它的线性组合为一元正态分布。

本词条的正态分布是一维正态分布，此外多维正态分布参见“ 二维正态分布”。

标准正态分布

当

   

时，正态分布就成为 标准正态分布

参数含义：

μ是正态分布的位置参数，描述正态分布的 集中趋势位置。概率规律为取与μ邻近的值的概率大，而取离μ越远的值的概率越小。正态分布以X=μ为 对称轴，左右完全对称。正态分布的期望、 均数、 中位数、众数相同，均等于μ。

σ描述正态分布资料数据分布的离散程度，σ越大，数据分布越分散，σ越小，数据分布越集中。也称为是正态分布的形状参数，σ越大，曲线越扁平，反之，σ越小，曲线越瘦高。