矩阵的特征分解证明

最新推荐文章于 2025-05-15 13:56:10 发布
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本文深入探讨了矩阵特征分解(eigendecomposition)的数学证明过程，详细解释了如何通过求解特征向量和特征值来将矩阵分解为特定形式，为理解线性代数中的这一核心概念提供了清晰的路径。

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特征分解(eigendecomposition)的证明

A=Vdiag(λ⃗)V−1A=Vdiag(λ→)V−1
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矩阵的特征分解在功率谱估计中的应用
03-12
矩阵的特征分解在功率谱估计中的应用，适合通信、电子等专业学习
矩阵的特征分解
得克特
10-22 4093
文章目录特征值和特征向量矩阵的特征分解直观理解通过特征分解求逆矩阵 特征值和特征向量 线性代数中，特征分解(eigendecomposition)是将矩阵分解为由特征值和特征向量表示的矩阵之积的方法。 注意：只有可对角化矩阵才能特征分解 特征值和特征向量的定义：Ax=λx\mathbf{Ax=\lambda x}Ax=λx 其中AAA是一个n×nn\times nn×n的矩阵，xxx是一个nnn维向量，λ\lambdaλ是AAA的一个特征值，xxx是矩阵AAA的特征值λ\lambdaλ对应的特征向量 利
5.4 特征值分解
最新发布
Leroi64的博客
05-15 894
特征值分解是干啥的？ 找主方向：比如旋转一个物体时，有些方向会被拉长（特征向量），拉长的比例就是特征值（数值越大越重要）；
【083】深度学习读书笔记：P26特征分解的证明
zhangchao19890805的专栏
09-08 1130
《深度学习》第26页给出了特征分解的公式，本文补上了公式的证明过程。
矩阵分解（特征分解、SVD分解）
诗小葵的博客
03-12 5762
若对于N阶矩阵A，存在实数λ\lambdaλ及非零向量xx，满足AxλxAxλx，则称λ\lambdaλ是A的特征值，非零向量xx是A的特征向量。
【线性代数】矩阵的特征值分解（对角化、谱分解）
热门推荐
sxl的博客
06-12 2万+
   矩阵的特征分解又可以称作矩阵的对角化、谱分解。其在机器学习和图机器学习中有非常广泛的应用。本节主要介绍矩阵的特征分解的解法，意义，实际应用。除此之外，矩阵的特征分解与矩阵的特征值和特征向量有关联，之前在【线性代数】理解特征值和特征向量文章中，对于特征值和特征向量的一些相关概念没有涉及到的，会在此进行补充。   内容为自己的学习总结，其中多有借鉴他人的地方，最后一并给出链接。  特征向量所在直线上的向量都是特征向量。 这样的直线可能不止一条。 我们称矩阵A所有特征向量对应的直线的集合为特征空间。  对角
关于正定矩阵平方根分解性质的讨论及正定矩阵某个特征的证明 (2012年)
05-21
基于高斯消去法和A的LU分解之间的密切关系，讨论用高 斯消去法的约化过程对正定矩阵A实现唯一的cholesky分解，具体给出一个构造性的直接计算分解的证明过程，以及将分解运用到求证正定矩阵某个特征的证明方法．
用于图片特征分解的稀疏多因式非负矩阵分解算法
01-27
非负矩阵分解（NMF）是一种流行的数据分析方法，其目标是使其接近通过所有非负成分产生的两个非负矩阵。文中描述了一种对于多因式非负矩阵分解（mfNMF）问题新的且有效的算法，概括了原始NMF问题的一些因式。此外，...
线性代数及其应用：经典矩阵特征值证明
Leon_winter的博客
01-22 7060
文章目录前言实对称矩阵正交方阵实斜对称矩阵厄米矩阵正定矩阵相似矩阵投影矩阵反射矩阵Rank-1矩阵逆矩阵矩阵线性变换矩阵的n次方的稳定性e的矩阵次方的稳定性马尔科夫矩阵循环置换特征值分解谱定理Jordan标准型奇异值分解 前言   这里记录一下一些经典矩阵的特征值证明，这些留作今后用。要证明的矩阵如下图所示，有些矩阵的特征向量也会一并推出。   最左边列是矩阵得名称，中间一列是对应矩阵的特征值，...
矩阵的谱分解 （详细推导步骤~~~特征值分解特征向量
qq_45259021的博客
01-20 1万+
矩阵的谱分解、给出详细推导步骤！！！矩阵分解是指将一个矩阵写成结构比较简单的或性质比较熟悉的另一些矩阵的乘积。
线性代数之 矩阵的特征值，特征向量，特征分解
qq_41035283的博客
11-13 3864
线性代数之 矩阵的特征值，特征向量和特征分解前言特征值和特征向量求矩阵特征值矩阵的特征分解补充：实对称矩阵后记 前言 矩阵的特征分解是比较基础的知识了，但是应用却十分广泛，比如主成分分析、矩阵分解之类的。现在回顾一下矩阵特征值的相关知识。 特征值和特征向量 定义：对于n阶实方阵AAA，如果存在非零向量xxx使得Ax=λx,λ∈RAx=\lambda x,\lambda \in RAx=λx,λ∈R，则称λ\lambdaλ是矩阵AAA的一个特征值，xxx是AAA的属于λ\lambdaλ的特征向量。 以上数学定
矩阵的特征分解（推导+手算+python计算+对称矩阵的特征分解性质）
qq_30232405的博客
03-01 2857
文章目录1. 前言2.矩阵的进阶知识2.1 特征分解（谱分解）=>只可以用在方阵上2.1.1 特征分解的原理2.1.2 特征分解的合理性2.1.3 特征分解的计算2.1.4 对称矩阵的特征分解（这个性质后面SVD推导用到） 1. 前言 要学会矩阵的特征分解，可以提前看矩阵的一些基础知识： https://blog.youkuaiyun.com/qq_30232405/article/details/10...
一文读懂矩阵的特征分解
Yujia's Blog
12-05 9065
矩阵的特征分解非常好理解，假设现在有一个NxN的矩阵A，如果这个矩阵A有N个线性无关的特征向量，那么A就可以分解为 P代表NxN的方阵，中间的Λ 代表对角矩阵 怎么理解呢？为什么可以分解成这样呢？ 其实这个就是矩阵相似对角化的变形而已！ 我们首先来复习一下矩阵相似对角化的基本概念 对角矩阵 ： 对角矩阵是指只有主对角线上含有非零元素的矩阵,一般记作：Λ ，例如： 矩阵相似：若矩阵A和矩阵B都...
矩阵分析：特征值分解
Hanze的博客
11-21 5678
对于矩阵为高纬的情况下，那么这个矩阵就是高维空间下的一个线性变换，可以想像，这个变化也同样有很多的变换方向，我们通过特征值分解得到的前N个特征向量，那就对应了这个矩阵最主要的N个变化方向，我们利用这前N个变化方向，就可以近似这个矩阵（变换）。是一个对角矩阵，每一个对角线元素就是一个特征值，里面的特征值有大到小排列，这些特征值所对应的特征向量就是描述这个矩阵变化方向，（从主要的变化到次要的变化排序）。上面的向量A，在小泽的角度来看，就是[3,2]，然而在小乐的角度看就变成了：[5/3，1/3]。
矩阵篇（五）-- 特征值分解(EVD)和奇异值分解(SVD)
CarpeDiem
12-05 3052
矩阵的奇异值分解（singular value decomposition，简称SVD）是线性代数中很重要的内容，并且奇异值分解过程也是线性代数中相似对角化分解（也被称为特征值分解，eigenvalue decomposition，简称EVD）的延伸。本节就介绍SVD的原理和Python实现。
矩阵特征分解(svd)介绍及雅克比(Jacobi)方法实现特征值和特征向量的求解(C++/OpenCV/Eigen)
04-18 1万+
对角矩阵(diagonal matrix)：只在主对角线上含有非零元素，其它位置都是零，对角线上的元素可以为0或其它值。形式上，矩阵D是对角矩阵，当且仅当对于所有的i≠j, Di,j= 0. 单位矩阵就是对角矩阵，对角元素全部是1。我们用diag(v)表示一个对角元素由向量v中元素给定的对角方阵。对角矩阵受到关注的部分原因是对角矩阵的乘法计算很高效。计算乘法diag(v)x，我们只需要将x中...
如何进行特征分解？
...
05-31 1916
至此，完成了矩阵 (A) 的特征分解，其中 (V) 是由 (A) 的特征向量组成的正交矩阵，而 Λ 是对角矩阵，对角线上的元素是 (A) 的特征值。由于 (A) 是实对称矩阵，其不同特征值对应的特征向量自然正交，如果特征值重合，则需要通过格拉姆-施密特正交化过程确保正交。对于一个给定的方阵 (A)（特别是实对称矩阵），特征分解就是将其表示为一组正交特征向量和对应的特征值的乘积形式。特征分解（也称为谱分解）是线性代数中一种重要的矩阵分解方法，主要应用于对称正定矩阵。注意，得到的特征向量需要标准化为单位向量。
『矩阵论笔记』特征分解(eigendecomposition)通俗解释！
AI新视界
06-07 641
我们将 讨论特征分解(eigendecomposition)，它是如何工作的，试图达到什么目的，以及为什么它有用。顾名思义，这种变换的核心是 特征(eigen) 这个词。如果你不熟悉 特征向量(eigenvectors)和特征值(eigenvalues)
特征分解
欢迎来到我的酒馆
03-01 646
摘自 网络电子版 《深度学习》
矩阵的奇异值分解证明
12-28
### 矩阵奇异值分解的证明 #### 定义与预备知识 奇异值分解(SVD)是一种重要的矩阵分解方法，在数值分析中有广泛应用。对于任意 \( m \times n \) 的实数矩阵 \( A \)，存在两个正交矩阵 \( U_{m\times m} \) 和 \( V_{n\times n} \)，使得： \[ A = U\Sigma V^T \] 其中，\( \Sigma \) 是一个 \( m \times n \) 对角矩阵，其对角线上元素称为奇异值，并按降序排列。 #### 推导过程 考虑给定矩阵 \( A \in R^{m×n} \)[^1]，定义如下优化问题来寻找最大奇异值及其对应的左、右奇异向量: \[ \begin{aligned} & \max _{\|u\|=1,\|v\|=1}\left(u^{T}Av\right)^2 \\ & s.t.\quad u^Tu=1, v^Tv=1. \end{aligned} \] 通过拉格朗日乘子法可以得到最优解条件为： \[ Av=\sigma_1u \] \[ A^Tu=\sigma_1v \] 这里 \( \sigma_1=(u^TAv)\geqslant0 \) 即为最大的奇异值，而 \( (u,v) \) 则是最优单位长度的向量对[^3]。 进一步地，假设已经找到了前 k-1 个相互垂直的最大奇异值所对应的向量，则第 k 大奇异值可通过下面的方式获得： \[ \begin{array}{l} \max _{\substack{ \|u_k\|=1 \\ u_i^Tu_k=0,i<k\\ }} \max _{\substack{ \|v_k\|=1 \\ v_j^Tv_k=0,j<k\\ }}(u_k^TAv_k)^2, \end{array} \] 重复此操作直到找到所有的非零奇异值为止。此时便完成了整个 SVD 过程。 最后注意到当且仅当输入矩阵是对称半正定时，SVD 才会退化成特征值分解的形式；而在更普遍的情况下两者并不相同[^4]。 ```python import numpy as np def svd(A): """ 计算矩阵A的奇异值分解 参数: A : 输入矩阵 返回: U : 左奇异矩阵 sigma : 奇异值数组 VT : 右奇异矩阵转置后的形式 """ # 计算AA'和A'A的特征值和特征向量 ATA_eigvals, V = np.linalg.eigh(np.dot(A.T,A)) AAT_eigvals, UT = np.linalg.eigh(np.dot(A,A.T)) # 获取奇异值并排序 sigmas_squared = sorted([val for val in ATA_eigvals if abs(val)>1e-8], reverse=True) sigmas = [np.sqrt(x) for x in sigmas_squared] # 构建Σ矩阵 Sigma = np.zeros((len(sigmas), len(sigmas))) np.fill_diagonal(Sigma, sigmas) return UT[:,:len(sigmas)], Sigma, V[:len(sigmas)].T if __name__ == "__main__": test_matrix = [[1,-2],[4,5]] U,s,Vt = svd(test_matrix) print("U:\n",U,"\ns:\n",s,"V transpose:\n",Vt) ```
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