1 2 5组合100，有多少种方法

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#动态规划 #算法 #性能 #编程 #优化

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本文详细介绍了从穷举法到动态规划优化的过程，通过逐步减少循环次数来提高效率，最终得出最优解法。重点在于理解和应用动态规划的思想，剪枝不必要的计算。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

问题描述：用随意多个1 2 5三个数字的组合，使其值为100，有多少种组合方法？

基础解法：穷举法，1穷举100次，2穷举50次，5穷举20次，这种方法总共穷举的次数为100*50*20=100 000，性能太差，但是为了以后描述问题，先给出穷举法的代码：

for(int i = 0; i <= 100; i += 5){
     for(int j = 0; j <= 100; j += 2){
        for(int k = 0; k <= 100; k++)
            if(i + j + k == 100)
                count++;
     }
}

进阶解法：通过对穷举法进行考察，在穷举的过程中j并不是每次都循环50次，而是随着i的增加循环次数不断减小，可以动态计算其循环次数为(100 - i) / 2，对于1的循环次数为可以动态计算为(100 - i - j)，通过这个描述可以得到一个新的解法。

for(int i = 0; i <= 100; i += 5){
     for(int j = 0; j <= 100 - i; j += 2){
         for(int k = 0; k <= 100 - i - j; k++)
             if(i + j + k == 100)
                count++;
     }
}

进一步优化：通过对上述算法的进一步分析，其实对1没有必要循环，只要i+j <= 100肯定存在一种解法，也就是说1肯定能补全差值。因此对1的循环是没有必要的。

for(int i = 0; i <= 100; i += 5){
     for(int j = 0; j <= 100 - i; j += 2){
         count++;
}

最优解法：通过对上述优化再进一步分析，对于2，是否有必要循环呢？其实我们只要知道100 - i对于2的倍数就行了，小于这个倍数100 - i - j可以用1来补全。因此可以有(100 - i) / 2种组合。考虑到i的个数可以为0，因此应该用这个倍数加1。因此我们只需要20次循环就可以找到总的倍数了。算法如下：

for(int i = 0; i <= 100; i += 5){
     count += (100 - i + 2) / 2; //其也可以写成count += ((100 - i) / 2 + 1)
}

其实通过这个小的编程题的一步步优化，我们已经在使用动态规划的思想了，其思想的核心就是剪去一些不必要的计算，在进阶解法中，我剪掉了不必要的循环次数，在进一步优化中我们剪掉了1的循环，最优解法中我们将对2的循环也剪掉了，形成了最好的解决办法。