越狱

原创于 2018-08-01 23:14:47 发布 · 503 阅读

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本文探讨了一种算法问题：给定监狱房间数量N及宗教种类M，如何计算可能引发越狱的不同状态数目。通过从补集中求解，即计算所有不发生越狱的情况数，再从总状态数中减去这一数值，最终得出答案。文章提供了C语言实现的代码示例。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

Description
监狱有连续编号为1…N的N个房间，每个房间关押一个犯人，有M种宗教，每个犯人可能信仰其中一种。如果相邻房间的犯人的宗教相同，就可能发生越狱，求有多少种状态可能发生越狱

Input
输入两个整数M，N.1<=M<=10^8,1<=N<=10^12

Output
可能越狱的状态数，模100003取余

Sample Input
2 3
Sample Output
6
HINT
6种状态为(000)(001)(011)(100)(110)(111)

Source
正面考虑此题有点难，但从反面考虑就容易不少了，可以先求所有犯人互不冲突的方案数，第一个犯人有m种可能的宗教，为了不和第二个犯人冲突，第二个犯人有m-1种可能的宗教，第三个犯人也有m-1种可能的宗教。。。以此类推，方案数为m*[(m-1)^(n-1)]，所有犯人的搭配方案总数为m^n，则结果为m^n-m*[(m-1)^(n-1)]，由于题目数据范围太大，加之有输出mod后的结果的限制，用快速幂就OK

#include <stdio.h>
#define MOD 100003
#define LONG long long int
//结果=m^n-m*[(m-1)^(n-1)]
LONG pow(LONG x,LONG base) //快速幂,求(base^x)%MOD
{
    if(x==0) return 1;
    LONG tmp=pow(x/2,base);
    tmp*=tmp;
    tmp%=MOD;
    if(x&1) //x是奇数，则还要乘一次底数
    {
        tmp*=base;
        tmp%=MOD;
    }
    return tmp;
}
int main()
{
    LONG n,m,compSet,uniSet,ans; //compSet=补集,uniSet=全集,ans=结果
    scanf("%lld%lld",&m,&n);
    compSet=pow(n-1,m-1);
    uniSet=pow(n,m);
    compSet*=m;
    compSet%=MOD;
    ans=uniSet-compSet;
    if(ans<0) ans+=MOD; 
    printf("%lld\n",ans);
    return 0;
}