C-最大公约数与最小公倍数 SDUT

本文提供两种方法求解两个正整数的最大公约数与最小公倍数,包括简单枚举法与辗转相乘法,通过实例演示了算法实现。

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Description

输入两个正整数,求它们的最大公约数与最小公倍数。


Input

输入两个正整数,两个整数之间用空格分开。

数据保证在 int 范围内。


Output

第一行输出最大公约数;
第二行输出最小公倍数。

答案保证在 int 范围内。


Sample
Input

64 48


Output

16
192


方法一:可以用最简单的方法,找出两数的较小值,从较小值开始找最大公约数,并将较小值每次自减一直至找到最大公约数,在没有课本参考的情况下这种方法较容易实现

#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>

int main()
{
    int a,b;
    int i,t;
    scanf("%d %d",&a,&b);
    if(b>a)
    /*判断较小值,始终让“b”较小;*/
    {
        t=b;
        b=a;
        a=t;
    }
    for(i=b; i>0; i--)
    //从“b”开始找最大公约数,如果找到便立即停止;
    {
        if(a%i==0&&b%i==0)
            break;
    }
    printf("%d\n%d",i,(a*b)/i);
    //这里用到了,知道最大公约数求最小公倍数的公式:两数相乘再除以最大公约数;
    return 0;
}

方法二:可以用课本上的辗转相乘法求最大公约数,再用公式求最小公倍数,但是要明白辗转相乘法如何操作;

#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>

int main()
{
    int a,b,temp,n,x,y;
    scanf("%d %d",&a,&b);
    x=a;
    y=b;
    if(x<y)//比较;
    {
        temp=x;
        x=y;
        y=temp;
    }

while(y!=0)
//辗转相乘法,最后x
“x”即为最大公约数;
{
    n=x%y;
    x=y;
    y=n;
}
    printf("%d\n%d\n",x,(a*b)/x);
    return 0;
}
### Python 实现求解最大公约数最小公倍数 #### 使用辗转相除法计算最大公约数 对于两个给定的整数 `x` 和 `y`,可以采用辗转相除法来寻找它们之间的最大公约数。这种方法通过不断用较大数去除较小数直到余数为零为止,在此过程中最后得到的小数值即为所求的最大公约数。 ```python def gcd(a: int, b: int) -> int: """Calculate the Greatest Common Divisor using Euclidean algorithm.""" while b != 0: a, b = b, a % b return abs(a) print(gcd(48, 18)) # 输出应为6 ``` 上述函数实现了基于欧几里得算法(也称为辗转相除法)的最大公约数计算逻辑[^1]。 #### 计算多个数的最大公约数 当面对多于两个数字的情况时,可以通过迭代方式调用二元GCD函数逐步缩小范围直至获得最终结果: ```python from functools import reduce numbers = [6, 12, 32, 80] result_gcd = reduce(lambda x, y: gcd(x, y), numbers) print(f"The GCD of {numbers} is {result_gcd}") ``` 这段代码展示了如何利用内置模块中的reduce功能处理列表形式输入的数据集并找到其共同因子。 #### 最小公倍数(LCM) 的定义及其GCD的关系 两个正整数a和b之间存在这样的关系:两者的乘积等于这两个数各自质因数分解后的所有不同素因子幂次方之积;而这个值同时也正好等于两者各自的最小公倍数LCM最大公约数GCD的乘积。因此可以根据这一性质快速得出任意一对互质或不完全互质自然数间的最小公倍数表达式\[ \text{LCM}(a,b)=\frac{|ab|}{\gcd(a,b)} \][^2]。 #### 结合GCD实现最小公倍数计算 有了前面提到的最大公约数解决方案作为基础之后,现在只需要简单修改就能完成最小公倍数的功能扩展: ```python def lcm(a: int, b: int) -> float: """Calculate Least Common Multiple based on previously defined GCD function""" return abs((a * b) / gcd(a, b)) # 测试案例 pairs = [(4, 5), (7, 9)] for pair in pairs: print(f"LCM({pair})={lcm(*pair):.0f}") ``` 以上程序片段说明了怎样借助已有的工具去构建新的数学运算能力——这里指的就是由最大公约数最小公倍数转换过程[^2]。
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