matlab中svd, svds, lansvd 函数

首先我们看一下wiki上关于奇异值分解的理论描述：

1. 理论描述

假设M是一个m×n阶矩阵，其中的元素全部属于域K，也就是实数域或复数域。如此则存在一个分解使得

{\displaystyle M=U\Sigma V^{*},\,}

其中U是m×m阶酉矩阵；Σ是m×n阶非负实数对角矩阵；而V*，即V的共轭转置，是n×n阶酉矩阵。这样的分解就称作M的奇异值分解。Σ对角线上的元素Σi,i即为M的奇异值。

常见的做法是将奇异值由大而小排列。如此Σ便能由M唯一确定了。（虽然U和V仍然不能确定。）

2. 直观的解释

在矩阵M的奇异值分解中

{\displaystyle M=U\Sigma V^{*},\,}

• V的列（columns）组成一套对{\displaystyle M\,}的正交"输入"或"分析"的基向量。这些向量是{\displaystyle M^{*}\,M}的特征向量。
• U的列（columns）组成一套对{\displaystyle M\,}的正交"输出"的基向量。这些向量是{\displaystyle MM^{*}\,}的特征向量。
• Σ对角线上的元素是奇异值，可视为是在输入与输出间进行的标量的"膨胀控制"。这些是{\displaystyle MM^{*}\,}及{\displaystyle M^{*}\,M}的特征值的非零平方根，并与U和V的行向量相对应。

3. 具体的matlab运算详解如下：

矩阵奇异值分解：

假设待分解矩阵为 M(m,n), 分解获得的的矩阵为 U, S, V.

SVD matlab函数原型为：

[U, S, V] = svd(M);  则 U(m,m), S(m, n),  V(n, n).

对于Svds 函数：

[U, S, V] = svds(M);  则 U(m,6), S(6,6),  V(n, 6).  

默认情况下是取最大的6个特征值，SVDS(A) 返回的就是svds返回的就是最大的6个特征值及其对应的特征行向量和特征列向量。然而Svds是可以根据需求进行定制：

[U, S, V] = svds(M, k);  则U(m,k), S(k,k),  V(n, k).  此时svds返回的就是最大的k个特征值及其对应的特征行向量和列向量。

在PROPACK 这个库中，有一个lansvd的函数名，此函数功能类似于svds函数，但是比svds更加灵活， svds只可以返回最大的k个特征值，Lansvd还可以返回最小的K个特征值。

[U,S,V] =LANSVD(A,K,'L',...) computes the K largest singular values. 该函数计算最大的K个特征值。

[U,S,V] = LANSVD(A,K,'S',...) computesthe K smallest singular values. 计算最小的K个特征值。

Lansvd在默认情况下，也是返回最大的6个特征值及其对应的特征向量。默认情况下，Svds和Lansvd 计算出来的特征值S是一样的。

4. 总结

在matlab中，SVD， SVDS 和lansvd函数本质上都是一样的。只是SVD得到的是全分解返回的全部特征值， Svds和lansvd 是可以灵活定制的，他们默认都是返回最大的6个特征值。其中Svds可以返回最大的K个特征值， lansvd更加灵活，可以返回最大或者最小的K个特征值。

[u,d,v]=svds(A,10)将得到最大的10个特征值及其对应的最大特征行向量和特征列向量，

[u,d,v]=svds(A,10，0)将得到最小的10个特征值及其对应的特征行向量和特征列向量，

[u,d,v]=svds(A,10，2)将得到与2最接近的10个特征值及其对应的特征行向量和特征列向量。

相比svd，svds的可定制性更强。

奇异值分解非常有用，对于矩阵A(m*n)，存在U(m*m)，V(n*n)，S(m*n)，满足A = U*S*V’。

U和V中分别是A的奇异向量，而S是A的奇异值。

AA'的正交单位特征向量组成U，特征值组成S'S，

A'A的正交单位特征向量组成V，特征值（与AA'相同）组成SS'。