leetcode:不同的二叉搜索树

题目来源：力扣

题目介绍：

给定一个整数 n，求以 1 … n 为节点组成的二叉搜索树有多少种？
示例:
输入: 3
输出: 5
解释:
给定 n = 3, 一共有 5 种不同结构的二叉搜索树.

审题：

考虑对于从$i$到$j$的节点序列，我们可以选择$i$到$j$的任意一个值作为二叉搜索树根节点，假设选择$k$作为根节点，则此时左子树的有节点序列$i$到$k-1$构成，右子树由节点$k+1$到$j$构成．假设我们节点序列$i$到$k-1$共有$m$种不同形式的二叉搜索树形式，节点序列$k+1$到$j$共有$n$种不同形式的二叉搜索树，则我们选择$k$作为根节点，可以得到$mn$种不同的二叉搜索树形式．而节点序列$i$到$j$可能构成的二叉搜索树个数选择不同根节点$k$得到的二叉树个数之和．

事实上，我们可以发现，该问题并不涉及最优性问题，因为为了计算所有可能的二叉树种类，我们需要计算每一个可能的根节点位置选择方案下，所可能产生的二叉搜索树个数，在这一步中，并不存在最优选择，而是将所有选择结果相加．但由于子问题存在重叠，因此我们仍然可以考虑使用动态规划算法解决该问题．

为了求解长度为$k$的节点序列可能产生的二叉搜索树总个数，我们需要已知所有长度小于$k$的节点序列所可能产生的二叉搜索树个数，此时的基础情形便是长度为１或长度为０的情形．如果当前节点序列长度为０或１，则此时的二叉搜索树只有一种形式．
我们使用二维数组存储每一状态下,总方案.在该问题中,状态包括节点序列的起点与终点$S[i[j]$表示节点序列$i,i+1,...j-1$所能构长的二叉搜索树个数.

以上是我一开始面对该问题时所提出的方法, 后面我进一步思考发现,二叉搜索树的可能个数与当前节点序列的值并无关系,仅与当前节点序列的长度有关.因此,我们可以进一步简化动态规划算法. 此时,当前的状态变量为节点序列的长度$l$, 我们可以在每一步选择左子树的大小,其取值范围从$0$到$l-1$. 我们使用一维数组S存储当前状态下二叉搜索树可能个数, 我们可以得到如下状态转移方程:
S [ l ] = s u m { S [ l e f t ] + S [ l − l e f t − 1 ] , 0 ≤ l e f t ≤ l − 1 } S[l] = sum\{S[left] + S[l-left-1] , 0 \leq left \leq l-1 \} S[l]=sum{S[left]+S[l−left−1],0≤left≤l−1}

java算法:

方法一

class Solution {
    public int numTrees(int n) {
        //S[i][j]表示以i...j-1为节点组成的二叉搜索树共有多少种
        //如果根节点选为ｋ, 则S[i][k] + S[k+1][j]

        int[][] S = new int[n+2][n+3];

        //basecase
        for(int i = 1; i < n+2; i++){
            S[i][i] = 1;
            S[i][i+1] = 1;
        }

        //如果计算长度为ｋ的节点所能组成的二叉树，　我们应当计算确定所有长度小于ｋ的节点序列所能组成的二叉树

        for(int len = 2; len <= n; len++){
            for(int left = 1; left <= n-len+1; left++ ){
                int right = left+len;
                int total = 0;
                for(int root = left; root < right; root++){
                    total += (S[left][root] * S[root+1][right]);
                }
                S[left][right] = total;
            }
        }
        return S[1][n+1];
    }
}

方法二:

class Solution {
    public int numTrees(int n) {

        int[] S = new int[n+1];

        S[0] = 1;
        S[1] = 1;

        //如果计算长度为ｋ的节点所能组成的二叉树，　我们应当计算确定所有长度小于ｋ的节点序列所能组成的二叉树

        for(int len = 2; len <= n; len++){
            int total = 0;
            for(int leftSize = 0; leftSize < len; leftSize++){
                total += S[leftSize] * S[len-leftSize-1];
            }
            S[len] = total;
        }
        return S[n];
    }
}