背包问题

关于这个背包问题，我弄了好久了，现在终于有一点想法了。

先说最简单的0-1背包问题：

假如我们有n件物品（用i来表示 1=<i<=n)，每一件物品价值分别为value[i],重量分别为wight[i],

背包的容量为C，要我们从中选几件物品，在背包的容量范围内使得总的价值最大。

对于这种问题，我们得分阶段来考虑，每一个阶段选择一个物品：

我们用V[i][S] 来表示在第 i 阶段，容量为S的状态下，我们能获得的最大价值。显然它是由上一阶段

来得到的：

             V[i][S] = max{V[i-1][S] , V[i-1][S-wight[i]] + value[i]}

 

其实以上方程可以化简成一维的：即V[i] = max{V[i] , V[i-wight[i]]+value[i]} (i = C,C-1,C-2,.....0)

伪代码如下：

for(int i=1;i<=C;++i)

v[i] = 0;

for(int i=1;i<=n;++i)

for(int s = n;s>=wight[i];--s)

if(V[s-wight[i]] + value[i] > V[s])

V[s] = V[s-wight[i]] + value[i];

 

以上是背包问题中最简单的问题，在这基础上还有一个完全背包问题，就是对于这n种物品中的每一

种，我们都可以无限的去取，我们扔然可以按照0-1背包的思路去写出状态转移方程：

令f[i][v]表示前i种物品恰放入一个容量为v的背包的最大权值：

f[i][v]=max{f[i-1][v-k*c[i]]+k*w[i]|0<=k*c[i]<=v}

 

其最简单的算法是：

for i=1,2,...n

for s=0,1,....C

f[v]=max{f[v],f[v-cost]+weight}