hd1232 修路最少（并查集问题）

并查集：

     是一种树型的数据结构，用于处理一些不相交集合（Disjoint Sets）的合并及查询问题；

     如图所示：

      根节点：一个集合最上一层的一个结点，每个集合只有一个根节点！

      父节点：上一级是下一级的父节点；例： b 是 d 的父节点；父节点是本身的点为根节点！ 

      子节点：下一级是上一级的子节点；例： d 是 b 的子节点；

      

      就是讲原本分散的单个数据建立起联系；

      例：亲戚关系，食物链等，

      x和y是亲戚，y和z是亲戚，那么x和z也是亲戚。如果x,y是亲戚，那么x的亲戚都是y的亲戚，y的亲戚也都是x的亲戚。
有点类似传递关系。

   有了并查集的基本概念了，我们再来说一下有关并查集的作用；

   即我们要利用并查集解决怎样的问题：

   合并两个集合，判断两个元素是否属于一个集合.

    主要操作：

     
    1、定义 :
        用一个存放父节点的一位数组来代表；
        例如：int per [ 1200 ];

     2、初始化 :

       把每个点所在集合初始化为其自身。

       通常来说，这个步骤在 每次使用该数据结构时只需要执行一次；

代码样板：

int per[1100];
void init()
{
    for(int  i =1; i <= N; ++i)    per[i] = i;    // 初始化； 
}

     3、查找 :

     查找元素所在的集合，即根节点。

代码样板：

①.全部元素压缩路径：
int find(int x)        
{
    int r = x ;
    while(r != per[r]) // 找到r为根节点；
        r = per[r];

    int i ,j;
    i = x;
    while(i != r) // 若不是根节点，连到根节点；
    {
        j = per[i];
        per[i] = r;
        i = j;
    }
    return r; // 返回根节点；
}

②.仅对一个元素压缩路径：
int find(int x)
{
    int r = x;
    while(r != per[r])
        r = per[r];
    per[x] = r;
    return r;
}

③.递归算法寻找，并压缩全部路径； 
( 算法时间长,数据大时容易爆栈，不推荐 )
int find(int x) 
{
    if(x == per[x])
        return x;
    return per[x] = find(per[x]);
}

     4、合并 :

       将两个结点所在的集合合并为一个集合。

       通常来说，合并之前，应先判断两个结点是否属于同一集合，这可用上面的“查找”操作实现。

代码样板：

void join (int x, int y)
{
    int fx = find(x);
    int fy = find(y);
    if(fx != fy)
        per[fx] = fy;
}

原题内容：

畅通工程

Time Limit: 4000/2000 MS (Java/Others)    Memory Limit: 65536/32768 K (Java/Others)
Total Submission(s): 37415    Accepted Submission(s): 19817

Problem Description

某省调查城镇交通状况，得到现有城镇道路统计表，表中列出了每条道路直接连通的城镇。省政府“畅通工程”的目标是使全省任何两个城镇间都可以实现交通（但不一定有直接的道路相连，只要互相间接通过道路可达即可）。问最少还需要建设多少条道路？ 

 

Input

测试输入包含若干测试用例。每个测试用例的第1行给出两个正整数，分别是城镇数目N ( < 1000 )和道路数目M；随后的M行对应M条道路，每行给出一对正整数，分别是该条道路直接连通的两个城镇的编号。为简单起见，城镇从1到N编号。 
注意:两个城市之间可以有多条道路相通,也就是说
3 3
1 2
1 2
2 1
这种输入也是合法的
当N为0时，输入结束，该用例不被处理。 

 

Output

对每个测试用例，在1行里输出最少还需要建设的道路数目。 

 

Sample Input

   
   

    
    4 2
1 3
4 3
3 3
1 2
1 3
2 3
5 2
1 2
3 5
999 0
0
   
   

 

Sample Output

   
   

    
    1
0
2
998


    
    

     
     

      
      Hint
     
     
Hint
    
    
    
     
Huge input, scanf is recommended.
   
   

题目分析：
   

        最少需要建设的道路数目等于：根节点数 - 1；

AC代码：

[cpp]  view plain copy

1. #include<stdio.h>  
2. #include<string.h>  
3. #include<stdlib.h>  
4. int per[1100];  
5. int n,m;  
6. void init()  
7. {  
8.     for(int i=1;    i<=n;    i++) per[i]=i;  
9. }  
10.   
11. int find(int x)//递归算法，不推荐；  
12. {  
13.     if(x==per[x])  
14.         return x;  
15.     return per[x]=find(per[x]);  
16. }  
17. void join(int x,int y)  
18. {  
19.     int fx=find(x);  
20.     int fy=find(y);  
21.     if(fx!=fy) per[fx]=fy;  
22. }  
23. int main()  
24. {  
25.     while(scanf("%d",&n)!=EOF)  
26.     {  
27.         if(n==0) break;  
28.         scanf("%d",&m);  
29.         int a,b,ans=0;  
30.         init();  
31.         while(m--)  
32.         {  
33.             scanf("%d%d",&a,&b);//合并结点；  
34.             join(a,b);  
35.         }  
36.         for(int i=1;    i<=n;    i++)  
37.         if(per[i]==i) ans++;//判断，若是根节点，ans+1；  
38.         printf("%d\n",ans-1);  
39.     }  
40.     return 0;  
41. }  

     在利用并查集运算的时候：

     明显地，某一节点与根节点之间的节点数越少，复杂度越低，运行时间越短；

     所以我们通过对单个结点压缩路径来减少复杂度；

     而对于两个集合之间的合并运算，我们引入了深度( ran )这一概念；

     例：d → c → a

     对于根节点 d 的深度为二；

     对于两个集合，将深度低的集合合并到深度更高的集合；

带有深度优化的join( 结合 )函数：

void jion (int x, int y)

{

    int fx = find(x);
    int fy = find(y);
    if(fx == fy)
        return ;
    if(ran[fx] < ran[fy])//判断深度；
        per[fx] = fy;
    else{
        per[fy] = fx;
        if(ran[fx] == ran[fy]) ran[fx]++;
    }

}

加入了深度判断后的AC代码：

[cpp]  view plain copy

1. #include <stdio.h>  
2. #include <string.h>  
3. int per[1100];  
4. int ran[1100];  
5. int n, m;  
6. void init(){  
7.     for(int i = 1; i <= n; ++i){  
8.         per[i] = i;  
9.         ran[i] = 0;  
10.     }  
11. }  
12.   
13. int find (int x){  
14.     if(x == per[x])  
15.         return x;  
16.     return per[x] = find(per[x]);  
17. }  
18.   
19. void jion (int x, int y){  
20.     int fx = find(x);  
21.     int fy = find(y);  
22.     if(fx == fy)  
23.         return ;  
24.     if(ran[fx] < ran[fy])  
25.         per[fx] = fy;  
26.     else{  
27.         per[fy] = fx;  
28.         if(ran[fx] == ran[fy]) ran[fx]++;  
29.     }  
30. }  
31.   
32. int main (){  
33.     while(scanf("%d", &n),n){  
34.         scanf("%d", &m);  
35.         init();  
36.         int a, b;  
37.         while(m--){  
38.             scanf("%d%d", &a, &b);  
39.             jion(a,b);  
40.         }  
41.         int ans = 0;  
42.         for(int i = 1; i <= n; ++i){  
43.             if(per[i] == i)  
44.                 ans++;  
45.         }  
46.         printf("%d\n", ans - 1);  
47.     }  
48.     return 0;  
49. }  

      这里仅列出了并查集的一些基本运用；