数据结构之二叉树

二叉树的性质

1. 在二叉树的第$i$层上至多有$2^{i-1}$个结点$(i\ge 1)$。
2. 深度为$k$的二叉树至多有$2^k-1$个结点$(k\ge 1)$。
3. 对任何一棵二叉树$T$，如果其终端结点数为$n_0$，度为$2$的结点数为$n_2$，则$n_0=n_2+1$。
4. 具有$n$个结点的完全二叉树的深度为$【lo{g}_{2}n】+1$，$“【】”$表示向下取整。
5. $n$个结点的完全二叉树按层序编号，对任意结点$i$有：
   a. 如果$i=1$，则结点$i$是二叉树的根，无双亲；如果$i>1$，则其双亲是结点$【i/2】$。
   b. 如果$2i>n$，则结点$i$无左孩子；否则其左孩子是结点$2i$。
   c. 如果$2i+1>n$，则结点$i$无右孩子；否则其右孩子是结点$2i+1$。
   

遍历二叉树

前序遍历

void PreOrder(BiTree T){
   
   
	if(T==NULL)
		return;
	printf("%c",T->data);
	PreOrder(T->lchild);
	PreOrder(T->rchild);
}

中序遍历

void InOrder(BiTree T){
   
   
	if(T==NULL)
		return;
	PreOrder(T->lchild);
	printf("%c",T->data);
	PreOrder(T->rchild);
}

后序遍历

void InOrder(BiTree T){
   
   
	if(T==NULL)
		return;
	PreOrder(T->lchild);
	PreOrder(T->rchild);
	printf("%c",T->data);
}

推导遍历结果

已知一棵二叉树的前序遍历为ABCDEF，中序遍历为CBAEDF，求后序遍历？

由前序遍历得到根节点为A，由中序遍历得到CB为左子树，EDF为右子树。

前序中B在前，故B为C的父结点；中序中C在前，故C为B左孩子。同理，D为E、F父结点，E为D左孩子，F为D右孩子。此时二叉树已经还原了，其后序遍历为：CBEFDA。

如下两种情况二下叉树唯一确定：

1. 已知前序和中序
2. 已知后序和中序

哈夫曼树

2,3,6,7,10,19,21,32构造哈夫曼树：

1. 排序
2. 去两最小值相加，相加后的序列排序
3. 再取两最小值相加，再排序…
4. 直到只剩下一个数

哈夫曼编码

对“BADCADFEED”进行哈夫曼编码：

字母	A	B	C	D	E	F
二进制	01	1001	101	00	11	1000

“BADCADFEED”编码后为：1001010010101001000111100

二叉树顺序结构实现

#include "stdio.h"    
#include "stdlib.h"   
#include "io.h"  
#include "math.h"  
#include "time.h"

#define OK 1
#define ERROR 0
#define TRUE 1
#define FALSE 0

#define MAXSIZE 100 /* 存储空间初始分配量 */
#define MAX_TREE_SIZE 100 /* 二叉树的最大结点数 */

typedef int Status;		/* Status是函数的类型,其值是函数结果状态代码，如OK等 */
typedef int TElemType;  /* 树结点的数据类型，目前暂定为整型 */
typedef TElemType SqBiTree[MAX_TREE_SIZE]; /* 0号单元存储根结点  */

typedef struct
{
   
   
	int level, order; /* 结点的层,本层序号(按满二叉树计算) */
}Position;

TElemType Nil = 0; /*  设整型以0为空 */

Status visit(TElemType c)
{
   
   
	printf("%d ", c);
	return OK;
}
/* 构造空二叉树T。因为T是固定数组，不会改变，故不需要& */
Status InitBiTree(SqBiTree T)