最短路径算法:Dijkstra算法

本文详细介绍Dijkstra算法,一种用于计算图中单源最短路径的经典算法。文章解释了算法的基本思想,包括如何通过逐步扩展来寻找最短路径,并提供了一个具体的实例说明。

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本文部分内容参考:http://www.cnblogs.com/biyeymyhjob/archive/2012/07/31/2615833.html
最常用的路径算法有: Dijkstra算法、A*算法、 Bellman-Ford算法、Floyd-Warshall算法( 参考)、Johnson算法。
本文主要研究Dijkstra算法的单源算法。
1.1  Dijkstra算法
  Dijkstra算法是典型最短路算法,用于计算一个节点到其他所有节点的最短路径。主要特点是以起始点为中心向外层层扩展,直到扩展到终点为止。 Dijkstra算法能得出最短路径的最优解,但由于它遍历计算的节点很多,所以效率低。  Dijkstra算法是很有代表性的最短路算法,在很多专业课程中都作为基本内容有详细的介绍,如数据结构,图论,运筹学等等。 

1.2  Dijkstra算法思想
Dijkstra算法思想为:设G=(V,E)是一个带权有向图,把图中顶点集合V分成两组,第一组为已求出最短路径的顶点集合(用S表示,初始时S中只有一个源点,以后每求得一条最短路径 , 就将 加入到集合S中,直到全部顶点都加入到S中,算法就结束了),第二组为其余未确定最短路径的顶点集合(用U表示),
(1)初始时,S只包含源点,v的距离为0。U包含除v外的其他顶点,U中顶点u距离为边上的权;
(2)从U中选取一个距离v最小的顶点k,把k加入S中(该选定的距离就是v到k的最短路径长度)。
(3)以k为新考虑的中间点,修改U中各顶点的距离;若从源点v到顶点u的距离(经过顶点k)比原来距离(不经过顶点k)短,则修改顶点u的距离值,修改后的距离值的顶点k的距离加上边上的权。
(4)重复步骤(2)和(3)直到所有顶点都包含在S中。

1.3  Dijkstra算法举例说明
如下图,设A为源点,求A到其他各顶点(B、C、D、E、F)的最短路径。线上所标注为相邻线段之间的距离,即权值。(注:此图为随意所画,其相邻顶点间的距离与图中的目视长度不能一一对等)

图一:Dijkstra无向图


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