【科研分享】结构高阶模态的一点理解

文/心尘轩

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做抗震研究时，我们不可避免会遇到一个问题：结构的高阶模态对结构的位移响应的 影响。那我们该如何认识高阶模态对结构变形模式的不利影响。一般而言，当我们在设计结构时，我们都期待结构沿着层高竖向刚度分布均匀，那么理想下，我们希冀结构的侧移变形呈现出结构一阶模态的分布，即类似于倒三角的变形模式。但是，现实是，尽管对于六层的结构，我们都可以发现结构在弹塑性下，并非是均匀的倒三角形式，结构的破坏往往是由于过多的变形集中于某一层（软弱层破坏）。此时，我们会很疑惑，我们在设计之处是严格按照竖向刚度是均匀分布的，为什么还会出现非预期的层间变形集中的软弱层破坏模式。要想解释这个现象，就得理解结构的高阶振型的影响。已有的研究表明这种影响在中高层的弹塑性状态尤为明显。

对于低多层结构，我们假定结构的动力响应完全可以由其一阶模态控制，即我们认为一阶有效模态质量即为结构的总质量，且假定结构在弹性和弹塑性下变形模式不改变，那么我们可以得出结构的在动力荷载下的响应也应该是均匀的，即按照结构的一阶模态分布。（当然上述的描述存在一个强假定，即低多层结构没有高阶振型影响，但事实证明即使是一个六层的结构，一阶振型对应的模态有效质量也很难达到90%以上，即高阶振型的影响不可避免，所以这里是假定的理想状态）。此外，还需要说明结构进入弹塑性状态后，一阶振型不改变的合理性。以下我们进行一个简单的理论推导，我们假定存在一个两自由度度体系，质量矩阵和初始刚度矩阵如下：

我们假定该两自由度体系在不同楼层处同时进入塑性状态，即体系的刚度同时衰减，此时结构的刚度矩阵可重写如下：

α为体系屈服后的刚度与初始刚度的比值。我们对屈服后的两自由度体系求其频率和振型，如下：

上述推导可见，体系进入塑性状态后，体系的频率显著下降，结构的周期显著增加，也即结构进入超“柔”状态，此时由动力学的知识可知，地震激励输入给结构的能量很有限（伪加速度A很小）。但是，观察上式，我们发现，结构刚度衰减系数α，对确定结构振型没有影响，即如果结构体系的刚度衰减一致（即结构层间刚度与相邻层间刚度比值保持不变），结构的振型在弹性和塑性时，是一致的。当然，我们要明白，我们设计的结构是否可以同时屈服，实在需要打一个问号。其次，一旦结构不是同时屈服，上述的层间刚度与相邻层间比值就会变化，那么结构的振型就会改变。所以真实的结构的响应是更加复杂。

上述讨论，得出的结论是，对于低多层结构，如果其动力响应完全由一阶模态控制，且结构各层同时屈服，我们可以认为结构在弹塑性状态下的振型不发生改变，且此时结构的响应是可以精确预测，且无层间集中变形的。

但现实告诉我们，上述的理想状态是无法实现的。首先，即使对低多层结构的动力响应也不完全由一阶模态控制。我们不得不面对高阶模态的影响，并正确做出相应的对策。

我们首先考虑结构在弹性状态的动力响应，由结构动力学理论可以得知，结构在弹性状态下，各模态之间是正交的，模态之间没有耦联关系，其第I 模态的结构反应不会在第J模态下产生任何响应。此时结构的动力响应可以由振型时程法可以求得，即：

即结构的总反应等于结构N阶振型时程响应的叠加。这里给出几点说明，第一，结构在弹性范围内，尽管也存在高阶振型的对变形的贡献，但是结构的初始刚度较大，较大的刚度对结构高阶振型的峰值响应具有更有效的抑制作用（高阶模态较基本模态而言，周期短，相应较刚，且因其有效模态质量不大，因此，在弹性阶段内变形有限）。第二，结构是弹性的，整体弹性变形相对较小。但是，结构体系一旦突破进入弹塑性状态，其情况就变得较为复杂。比如实际上结构不可能在某一刻同时进入塑性的状态，因此，结构本身的模态随着结构各层塑性发展不同而有所改变，那么这种改变是否会使得各振型之间也不再满足正交性，即第I振型可以在第J振型发生反应，即振型之间开始耦联。所以，在结构的弹塑性阶段，结构高阶振型的影响包括两方面：高阶振型本身的贡献以及其在相邻振型的耦联。实际上，我们可以从这个角度来理解结构振型在结构首次屈服后出现耦联的本质，结构屈服后在新的层间刚度分布下，结构的模态已经稍微发生了改变，但是我们依然使用结构在弹性状态下的模态，这就可能导致结构在弹性状态下得到的振型在弹塑性状态开始存在些许耦联，即各振型已不再满足正交性。Chopra等研究表明，尽管结构出现显著的弹塑性状态，如果用初始的第N阶模态对应的力向量Peff,n(t)对结构体系进行非线性时程分析，并将结果分解在初始各振型空间上。结果发现，第N阶模态对应的力向量Peff,n(t)产生的位移不仅在第N阶振型上产生响应，在N阶振型以外的振型也产生了响应，这就表明结构一旦进入弹塑性状态，各振型就不再满足正交，此外，尽管N阶振型对应的力向量P