本文深入探讨了分治法的概念、基本思想及策略，详细阐述了分治法在解决复杂问题时的适用情况，并通过归并排序的经典实例展示了如何运用分治法设计程序。通过数学归纳法找到解决问题的求解方程公式，进而设计递归程序实现算法。此外，文章还提供了分治法复杂性分析、经典问题应用示例及设计程序时的思维过程，旨在帮助读者掌握分治法的核心原理与实际应用。
一、基本概念
在计算机科学中，分治法是一种很重要的算法。字面上的解释是“分而治之”，就是把一个复杂的问题分成两个或更多的相同或相似的子问题，再把子问题分成更小的子问题……直到最后子问题可以简单的直接求解，原问题的解即子问题的解的合并。这个技巧是很多高效算法的基础，如排序算法(快速排序，归并排序)，傅立叶变换(快速傅立叶变换)……
任何一个可以用计算机求解的问题所需的计算时间都与其规模有关。问题的规模越小，越容易直接求解，解题所需的计算时间也越少。例如，对于n个元素的排序问题，当n=1时，不需任何计算。n=2时，只要作一次比较即可排好序。n=3时只要作3次比较即可，…。而当n较大时，问题就不那么容易处理了。要想直接解决一个规模较大的问题，有时是相当困难的。
二、基本思想及策略
分治法的设计思想是：将一个难以直接解决的大问题，分割成一些规模较小的相同问题，以便各个击破，分而治之。
分治策略是：对于一个规模为n的问题，若该问题可以容易地解决（比如说规模n较小）则直接解决，否则将其分解为k个规模较小的子问题，这些子问题互相独立且与原问题形式相同，递归地解这些子问题，然后将各子问题的解合并得到原问题的解。这种算法设计策略叫做分治法。
如果原问题可分割成k个子问题，1<k≤n，且这些子问题都可解并可利用这些子问题的解求出原问题的解，那么这种分治法就是可行的。由分治法产生的子问题往往是原问题的较小模式，这就为使用递归技术提供了方便。在这种情况下，反复应用分治手段，可以使子问题与原问题类型一致而其规模却不断缩小，最终使子问题缩小到很容易直接求出其解。这自然导致递归过程的产生。分治与递归像一对孪生兄弟，经常同时应用在算法设计之中，并由此产生许多高效算法。
三、分治法适用的情况
分治法所能解决的问题一般具有以下几个特征：
1) 该问题的规模缩小到一定的程度就可以容易地解决
2) 该问题可以分解为若干个规模较小的相同问题，即该问题具有最优子结构性质。
3) 利用该问题分解出的子问题的解可以合并为该问题的解；
4) 该问题所分解出的各个子问题是相互独立的，即子问题之间不包含公共的子子问题。
第一条特征是绝大多数问题都可以满足的，因为问题的计算复杂性一般是随着问题规模的增加而增加；
第二条特征是应用分治法的前提它也是大多数问题可以满足的，此特征反映了递归思想的应用；、
第三条特征是关键，能否利用分治法完全取决于问题是否具有第三条特征，如果具备了第一条和第二条特征，而不具备第三条特征，则可以考虑用贪心法或动态规划法。
第四条特征涉及到分治法的效率，如果各子问题是不独立的则分治法要做许多不必要的工作，重复地解公共的子问题，此时虽然可用分治法，但一般用动态规划法较好。
四、分治法的基本步骤
分治法在每一层递归上都有三个步骤：
step1 分解：将原问题分解为若干个规模较小，相互独立，与原问题形式相同的子问题；
step2 解决：若子问题规模较小而容易被解决则直接解，否则递归地解各个子问题
step3 合并：将各个子问题的解合并为原问题的解。
它的一般的算法设计模式如下：
Divide-and-Conquer(P)
1. if |P|≤n0
2. then return(ADHOC(P))
3. 将P分解为较小的子问题 P1 ,P2 ,...,Pk
4. for i←1 to k
5. do yi ← Divide-and-Conquer(Pi) △ 递归解决Pi
6. T ← MERGE(y1,y2,...,yk) △ 合并子问题
7. return(T)
其中|P|表示问题P的规模；n0为一阈值，表示当问题P的规模不超过n0时，问题已容易直接解出，不必再继续分解。ADHOC(P)是该分治法中的基本子算法，用于直接解小规模的问题P。因此，当P的规模不超过n0时直接用算法ADHOC(P)求解。算法MERGE(y1,y2,...,yk)是该分治法中的合并子算法，用于将P的子问题P1 ,P2 ,...,Pk的相应的解y1,y2,...,yk合并为P的解。
五、分治法的复杂性分析
一个分治法将规模为n的问题分成k个规模为n／m的子问题去解。设分解阀值n0=1，且adhoc解规模为1的问题耗费1个单位时间。再设将原问题分解为k个子问题以及用merge将k个子问题的解合并为原问题的解需用f(n)个单位时间。用T(n)表示该分治法解规模为|P|=n的问题所需的计算时间，则有：
T（n）= k T(n/m)+f(n)
通过迭代法求得方程的解：
递归方程及其解只给出n等于m的方幂时T(n)的值，但是如果认为T(n)足够平滑，那么由n等于m的方幂时T(n)的值可以估计T(n)的增长速度。通常假定T(n)是单调上升的，从而当 mi≤n<mi+1时，T(mi)≤T(n)<T(mi+1)。
（8）最接近点对问题
七、应用示例
/*分治法——归并排序
* 二路归并排序的分治策略是：
（1）划分：将待排序序列r1, r2, …, rn划分为两个长度相等的子序列r1, …, rn/2和rn/2＋1, …, rn；
（2）求解子问题：分别对这两个子序列进行排序，得到两个有序子序列；
（3）合并：将这两个有序子序列合并成一个有序序列。
*/
public class MergeSort {
/**
* @param args
*/
public static void main(String[] args) {
int a[] = { 21, 34, 56, 43, 99, 37, 78, 10 };// 这里对8个元素进行排序
int low = 0, high = 7;// 初始化low和high的值，即数组的起始和终止的坐标
// 辅助数组b，作为临时数组
int b[] = new int[a.length];
//输出排序前的数组
System.out.print("排序前：");
for (int i = 0; i <= high; i++) {
System.out.print(a[i] + " ");
}
// 归并排序
mergerSort(a, low, high, b);
//输出排序后的数组
System.out.print("排序后：");
for (int i = 0; i <= high; i++) {
System.out.print(a[i] + " ");
}
}
/**
* 分治和归并
*
* @param a
* @param low
* @param high
* @param b
*/
public static void mergerSort(int a[], int low, int high, int b[]) {
int mid = 0;
if (low < high) {
mid = (high + low) / 2;// 分治位置,即将数组拆分的位置
mergerSort(a, low, mid, b);
mergerSort(a, mid + 1, high, b);
merger(a, low, mid, high, b);// 归并
}
}
/**
* 合并两个有序子序列
*
* @param a
* @param low
* @param mid
* @param high
* @param b
* 辅助数组
*/
public static void merger(int[] a, int low, int mid, int high, int b[]) {
int i = low;
int j = mid + 1;
int p = 0;
// 合并两个有序数组 子序列1 a[low..mid] 子序列2 a[mid+1..high]
while (i <= mid && j <= high) {
b[p++] = (a[i] <= a[j]) ? a[i++] : a[j++];
}
// 如果子序列1没有合并完则直接复制到复制数组中去
while (i <= mid) {
b[p++] = a[i++];
}
// 如果子序列2没有合并完则直接复制到复制数组中去
while (j <= high) {
b[p++] = a[j++];
}
// 把辅助数组的元素复制到原来的数组中去
for (p = 0, i = low; i <= high; i++, p++) {
a[i] = b[p];
}
}
}
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