整数划分问题

整数划分问题将一个整数n划分成几个正整数，几个正整数的和为n，如：

 

6
5 + 1
4 + 2, 4 + 1 + 1
3 + 3, 3 + 2 + 1, 3 + 1 + 1 + 1
2 + 2 + 2, 2 + 2 + 1 + 1, 2 + 1 + 1 + 1 + 1
1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1

 

纸上书写某个整数的划分时会先选一个较大的数，再分剩下的和，由此想到使用整个数序中允许最大的那个数作为状态变量。

DP表达式F（N，M），N表示当前划分的整数，M表示划分出的数列中允许的最大的数。

如果N或者M为1，易知F（N，M）=1；

如果N==M，在划分N时可以使用N（==M），也可以不使用，使用N的话只有一种情况，不使用N时状态表达式为F（N，M-1），故F（N，M） = F（N，M-1）+1；

如果N<M，F（N，M）=F（N，N）；

如果N>M，同样在划分N时可以使用M，也可以不使用，使用M的话状态表达式为F（N-M，M），不使用的话状态表达式为F（N，M-1），故F（N，M） = F（N-M，M）+F(N，M-1)；

谨记这里定义的状态的意义，整个DP就是一个状态转移的过程。

 

简单写个程序：

 

#include <stdio.h>

__int64 split(int n, int m)
{
    if(n < 1 || m < 1) 
        return 0;
    if(n == 1 || m == 1) 
        return 1;
    if(n < m) 
        return split(n, n);
    if(n == m) 
        return (split(n, m - 1) + 1);
    if(n > m) 
        return (split(n, m - 1) + split((n - m), m));
}

int main()
{
    int n ;
    scanf("%d",&n);
    while ( n != 0 )
    {        
        printf("%d 的划分数: %I64d/n", n, split(n, n));
        scanf("%d",&n);
    }
}