图论基础：图的表示、遍历与应用详解-优快云博客

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6.1 图的定义

图G由顶点集V和边集V组成，记为G=(V,E)，其中V(G)表示图G中顶点的有限非空集；E(G)表示图G中顶点之间的边集合。
若V={v₁,v₂,…,v_n}，则用|V|表示图G中顶点的个数，也称图G的阶；用|E|表示图G中的边数。

有向图：
G₁=(V₁,E₁)
V₁={A,B,C,D,E}
E₁={<A,B>,<A,C>,<A,D>,<A,E>,<B,A>,<B,C>,<B,E>,<C,D>}
注：<v,w>与<w,v>方向相反

无向图：
G₂=(V₂,E₂)
V₂={A,B,C,D,E}
E₂={(A,B),(B,D),(B,E),(C,D),(C,E),(D,E)}

简单图：不存在重复边，不存在顶点到自身的边
多重图：图G中某两个结点之间的边数多于一条，又允许顶点通过同一条边和自己关联

顶点的度，入度，出度：
对于无向图，顶点v的度是指依附于该顶点的边的条数，记为TD(v)，全部顶点的度的和等于边数的两倍
对于有向图，入度是以顶点v为终点的有向边的条数，记为ID(v)；出度是以顶点v为起点的有向边的条数，记为OD(v)；顶点v的度等于其入度和出度之和

顶点间的关系描述
在这里插入图片描述

若图G中任意两个顶点都是连通的，则称图G为连通图，否则为非连通图。
对于n个顶点的无向图G
若G为连通图，则最少有n-1条边
若G是非连通图，则最多可能有C²_n-1条边

若图G中任意两个顶点都是强连通的，则称图G为强连通图。
对于n个顶点的有向图G
若G是强连通图，则最少有n条边（形成回路）

子图：
在这里插入图片描述

无向图中极大连通子图称为连通分量
有向图中极大强连通子图称为有向图的连通分量

连通图的生成树是包含图中全部顶点的一个极小连通子图。
若图中顶点数为n，则它的生成树有n-1条边；对生成树而言，若砍去它的一条边，则会变成非连通图，若加上一条边则会形成回路

在非连通图中，连通分量的生成树构成了非连通图的生成森林

边的权：
在这里插入图片描述

无向完全图：无向图中任意两个顶点之间都存在边
有向完全图：有向图中任意两个顶点之间都存在方向相反的两条弧

边数很少的图称为稀疏图，反之称为稠密图

树：不存在回路，且连通的无向图
有向树：一个顶点的入度为0，其余顶点的入度均为1的有向图

6.2 图的存储

6.2.1 邻接矩阵

#define MaxVertexNum 100//顶点数目最大值
typedef struct{
	char Vex[MaxVertexNum];//顶点表
	int Edge[MaxVertexNum][MaxVertexNum];//邻接矩阵，边表
	int vexnum,arcnum;//图当前顶点数和边数/弧数
}MGraph;

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邻接矩阵存储带权图：
在这里插入图片描述
邻接矩阵性能分析：
空间复杂度O(|v|²)——只和顶点数相关，和实际边数无关
适合存储稠密图
无向图的邻接矩阵是对称矩阵，可以压缩存储

邻接矩阵性质：
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6.2.2邻接表

#define MaxVertexNum 100//图中顶点数目最大值
typedef struct ArcNode{//边表结点
	int adjvex;//该弧所指向的顶点的位置
	struct ArcNode *next;//指向下一条弧的指针
	//InfoType info;//网的边权值
}ArcNode;
typedef struct VNode{//顶点表结点
	VertexType data;//顶点信息
	ArcNode *first;//指向第一条依附该顶点的弧的指针
}VNode，AdjList[MaxVertexNum];
typedef struct{
	AdjList vertices;//邻接表
	int vexnum,arcnum;//图的顶点数和弧数
}ALGraph;//ALGraph是以邻接表存储的图类型

邻接表与邻接矩阵的比较
在这里插入图片描述

6.2.3十字链表

十字链表只适合存储有向图
在这里插入图片描述

6.2.4邻接多重表

邻接多重表只适合存储无向图
在这里插入图片描述

6.3 图的遍历

6.3.1广度优先(BFS)

bool visited[MaxVertexNum];//访问标记数组
void BFSTraverse(Graph G){//对图G进行广度优先遍历
	for(i=0;i<G.vexnum;++i)
		visited[i]=false;//访问标记 数组 初始化
	InitQueue(Q);//初始化辅助队列Q
	for(i=0;i<G.vexnum;++i)//从0号顶点开始遍历
		if(!visited[i])//if(visited[i]==false)
			BFS(G,i);//i未被访问，从i开始访问
}
void BFS(Graph G,int v){//从顶点v出发，广度优先遍历图G
	visit(v);//访问初始结点v
	visited[v]=true;//对v做以访问标记
	EnQueue(Q,v);//v入队
	while(!isEmpty(Q)){
		DeQueue(Q,v);//顶点v出队
		for(w=FirstNeighbor(G,v);w>=0;w=NextNeighbor(G,v,w))
		/*检测v所有邻接点
		FirstNeighbor(G,x)：求图G中顶点x的第一个邻接点，若有则返回顶点号
		NextNeighbor(G,x,y)：假设y是x的第一个邻接点，则返回除y外的第一个邻接点*/
		if(!visited[w]){//w为v的尚未访问的邻接点
			visit(w);//访问顶点w
			visited(w)=true;//对w做以访问标记
			EnQueue(Q,w);//顶点w入队
		}//if
	}//while
}
/*第二个函数可访问连通图，两个函数访问非连通图*/

复杂度分析：
空间复杂度：由辅助队列决定最坏O(|V|)
时间复杂度：
在这里插入图片描述
广度优先生成树：邻接表存储则表示方式不唯一

非连通图可形成广度优先生成森林。

6.3.2 深度优先（DFS）

bool visited[MaxVertexNum];//访问标记数组
void DFSTraverse(Graph G){//对图G进行深度优先遍历
	for(v=0;v<G.vexnum;++v)
		visited[v]=false;
	for(v=0;v<G.vexnum;++v)
		if(!visited[v])
			DFS(G,v);
}
void DFS(Graph G,int v){//从顶点v出发深度优先遍历图G
	visit(v);//访问顶点v
	visited[v]=true;
	for(w=FirstNeighbor(G,v);w>=0;w=NextNeighbor(G,v,w))
		if(!visited[w])//w为v的尚未访问的邻接点
			DFS(G,w);
}