Spark MLlib — Word2Vec

Word2vec 是 Google 在 2013 年开源的一款将词表征为实数值向量的高效工具。能够将单词映射到K维向量空间，同时由于算法考虑了每个单词的上下文环境，因此词向量表示同时具有语义特性。本文对Word2Vec的算法原理以及其在spark MLlib中的实现进行了对应分析。（PS：第一次用latex打这么多公式，真是心累~）

1.背景知识

1.1 词向量

NLP中词向量通常有两种表示方式：

• One-hot Representaion
  把每个单词按顺序编号，每个词就是一个很长的向量，向量的长度等于词表的大小，只有对应位置上的数字编号为1，其余位置为0.在实际应用中一般采用稀疏矩阵的表示方式。例如：
  假设词表为{I, am, study, spark, machine, learning}
  则若用稠密矩阵来表示单词spark，则为[0,0,0,1,0,0,0], 在Scala语法中就是Vectors.dense(0,0,0,1,0,0,0);
  若用稀疏矩阵来表示单词spark，则为(6, 3, 1),这是一个三元组，6表示向量维度，3,1表示矩阵在3这个位置上的元素为1，其余位置元素均为0。在Scala语法中就是Vectors.sparse(6,(3),(1))
• Distributed Representaion
  其基本思想是通过训练将每个词映射为K维实数向量，通过词之间的距离（例如cosine相似度、欧氏距离）来判断它们之间的语义相似度。Word2Vec就是使用这种Distributed Representaion的词向量表示方式。Word2Vec算法的一个附加输出就是输入语料文本中每个单词的Distributed Representaion词向量。

1.2 分类和逻辑回归

(1) 一般来说，回归不用再分类问题上，因为回归是连续模型，如果非要引入，可以使用logistic回归。logistic回归本质上仍是线性回归，只是在特征 $X$ 到结果 $y$ 的映射中加入了一层函数映射，先做线性求和再使用$\sigma(z)$ 作为假设函数来映射，将连续值映射到{0,1}上。logistic回归只能用于二分类，对于任意样本$\mathsf x=\{x_1,x_2,...x_n\}^T$，其评估函数为：

$h_\theta(x)=\sigma(\theta_0+\theta_1x_1+\theta_2x_2+...+\theta_nx_n)=\sigma(\theta^T\mathsf x)=\frac{1}{1+e^{-\theta^T\mathsf x}} \tag{1.1}$
其中 $\sigma(z)=\frac{1}{1+e^{-z}}$ 就是sigmoid函数
(2) 选用sigmoid函数来做logistic回归的理由有：

• 平滑映射：能将$x\in(-\infty, \infty)$平滑映射到(0,1)区间
  

  

• 其导数具有如下特点：
  

  $$\sigma'(z)=\frac{d}{d_z}(\frac{1}{1+e^{-z}})=\frac{e^{-z}}{(1+e^{-z})^2}=\frac{1}{1+e^{-z}}(1-\frac{1}{1+e^{-z}})=\sigma(z)(1-\sigma(z)) \tag{1.2}$$

(3) 使用logistic回归进行二分类，实际上是取阈值T=0.5，即使用如下判别公式：

$$\begin{equation*} y(x) = \begin{cases} 1 & h_\theta(x)\ge0.5\\ 0 &h_\theta(x)\lt0.5\\ \end{cases} \tag {1.3} \end{equation*}$$
假设这里的二分类满足伯努利分布，也即
$$\begin{align} p(y=1|x;\theta) &= h_\theta(x)\\ p(y=0|x;\theta) &= 1-h_\theta(x) \end{align}$$
也即: $$p(y|x;\theta) = (h_\theta(x))^y (1-h_\theta(x))^{1-y }\tag {1.4}$$
(4)参数 $\theta$向量的求取方法通常为：假设训练集是独立同分布的，期待模型能在全部训练数据上预测最准，也就是求使其概率积最大 $\theta$，使用最大似然估计，其对数似然函数表示为：
$$\begin{align} L(\theta)&=p(Y|X;\theta)=\prod_{i=1}^mp(y^{(i)}|x^{(i)};\theta)=\prod_{i=1}^m (h_\theta(x^{(i)}))^{y^{(i)}} (1-h_\theta(x^{(i)}))^{1-y^{(i)}}\\ l(\theta)&=logL(\theta)=\sum_{i=1}^my^{(i)}logh_\theta(x^{(i)})+(1-y^{(i)})log(1-h_\theta(x^{(i)})) \tag {1.5} \end{align}$$
(5)要求得使上面的似然函数 $l(\theta)$最大的 $\theta$ ，可使用牛顿上升法，即使用 $\theta:=\theta+\alpha\nabla_\theta l(\theta)$迭代公式来不断迭代直到收敛，其中

∇θjl(θ)=∑i=1m(y(i)×1hθ(x(i))+(