AI之语言模型

  一段自然语言文本可以看作是一个离散时间序列，给定一个长度为 T 的词的序列 ${\omega }_1,{\omega }_2,...,{\omega }_T$，语言模型的目标就是评估该序列是否合理，即计算该序列的概率：
$$P({\omega }_1,{\omega }_2,...,{\omega }_T).$$
   本文介绍基于统计的语言模型，主要是 n 元语法（ n -gram）。在后续内容中，我们将会介绍基于神经网络的语言模型。

语言模型

   假设序列${\omega }_1,{\omega }_2,...,{\omega }_T$中的每个词是依次生成的，我们有

$$P({\omega }_1,{\omega }_2,...,{\omega }_T)=\prod _{t=1}^{T}P({\omega }_T\mid {\omega }_1,\dots ,{\omega }_{T-1})=P({\omega }_1)P({\omega }_2\mid {\omega }_1)\cdots P({\omega }_T\mid {\omega }_1{\omega }_2\cdots {\omega }_T-1)$$

   例如，一段含有4个词的文本序列的概率

$$P({\omega }_1,{\omega }_2,{\omega }_3,{\omega }_4)=P({\omega }_1)P({\omega }_2\mid {\omega }_1)P({\omega }_3\mid {\omega }_1,{\omega }_2)P({\omega }_4\mid {\omega }_1,{\omega }_2,{\omega }_3).$$

   语言模型的参数就是词的概率以及给定前几个词情况下的条件概率。设训练数据集为一个大型文本语料库，如维基百科的所有条目，词的概率可以通过该词在训练数据集中的相对词频来计算，例如， ${\omega }_1$ 的概率可以计算为：
$$\hat{P}({\omega }_1)=\frac{n({\omega }_1)}{n}$$

其中 $n({\omega }_1)$ 为语料库中以 ${\omega }_1$作为第一个词的文本的数量， n 为语料库中文本的总数量。
   类似的，给定 ${\omega }_1$情况下， ${\omega }_2$的条件概率可以计算为：
$$\hat{P}({\omega }_1|{\omega }_2)=\frac{n({\omega }_1,{\omega }_2)}{n}$$

其中 n(w1,w2) 为语料库中以 w1 作为第一个词， w2 作为第二个词的文本的数量。

n元语法

   序列长度增加，计算和存储多个词共同出现的概率的复杂度会呈指数级增加。 n 元语法通过马尔可夫假设简化模型，马尔科夫假设是指一个词的出现只与前面 n 个词相关，即 n 阶马尔可夫链（Markov chain of order n ），如果 n=1 ，那么有 $P({\omega }_3\mid {\omega }_1,{\omega }_2)=P({\omega }_3\mid {\omega }_2)$ 。基于 n−1 阶马尔可夫链，我们可以将语言模型改写为

$$P({\omega }_1,{\omega }_2,...,{\omega }_T)=\prod _{t=1}^{T}P({\omega }_T\mid {\omega }_{T-(n-1)},\dots ,{\omega }_{t-1})$$

以上也叫 n 元语法（ n -grams），它是基于 n−1 阶马尔可夫链的概率语言模型。
   例如，当 n=2 时，含有4个词的文本序列的概率就可以改写为：

$$P({\omega }_1,{\omega }_2,{\omega }_3,{\omega }_4)=P({\omega }_1)P({\omega }_2\mid {\omega }_1)P({\omega }_3\mid {\omega }_1,{\omega }_2)P({\omega }_4\mid {\omega }_1,{\omega }_2,{\omega }_3)=P({\omega }_1)P({\omega }_2\mid {\omega }_1)P({\omega }_3\mid {\omega }_2)P({\omega }_4\mid {\omega }_3)$$

   当 n 分别为1、2和3时，我们将其分别称作一元语法（unigram）、二元语法（bigram）和三元语法（trigram）。例如，长度为4的序列 ${\omega }_1,{\omega }_2,{\omega }_3,{\omega }_4$在一元语法、二元语法和三元语法中的概率分别为

$$P({\omega }_1,{\omega }_2,{\omega }_3,{\omega }_4)=P({\omega }_1)P({\omega }_2)P({\omega }_3)P({\omega }_4),$$$$P({\omega }_1,{\omega }_2,{\omega }_3,{\omega }_4)=P({\omega }_1)P({\omega }_2\mid {\omega }_1)P({\omega }_3\mid {\omega }_2)P({\omega }_4\mid {\omega }_3),$$$$P({\omega }_1,{\omega }_2,{\omega }_3,{\omega }_4)=P({\omega }_1)P({\omega }_2\mid {\omega }_1)P({\omega }_3\mid {\omega }_1,{\omega }_2)P({\omega }_4\mid {\omega }_2,{\omega }_3).$$

   当 n 较小时， n 元语法往往并不准确。例如，在一元语法中，由三个词组成的句子“你走先”和“你先走”的概率是一样的。然而，当 n 较大时， n 元语法需要计算并存储大量的词频和多词相邻频率。

n 元语法缺陷

1、参数空间过大
2、数据稀疏 齐夫定律

语言模型数据集

读取数据集

with open('/home/kesci/input/jaychou_lyrics4703/jaychou_lyrics.txt') as f:
    corpus_chars = f.read()#从文件指针所在的位置，读到文件结尾
print(len(corpus_chars))
print(corpus_chars[: 40])
corpus_chars = corpus_chars.replace('\n', ' ').replace('\r', ' ')
corpus_chars = corpus_chars[: 10000]

输出结果:
63282
想要有直升机
想要和你飞到宇宙去
想要和你融化在一起
融化在宇宙里
我每天每天每

建立字符索引

idx_to_char = list(set(corpus_chars)) # 去重，得到索引到字符的映射
char_to_idx = {char: i for i, char in enumerate(idx_to_char)} # 字符到索引的映射（构造字典推导式）
vocab_size = len(char_to_idx)
print(vocab_size)

corpus_indices = [char_to_idx[char] for char in corpus_chars]  # 将每个字符转化为索引，得到一个索引的序列
sample = corpus_indices[: 20]
print('chars:', ''.join([idx_to_char[idx] for idx in sample]))
print('indices:', sample)

输出结果:
1027
chars: 想要有直升机 想要和你飞到宇宙去 想要和
indices: [1022, 648, 1025, 366, 208, 792, 199, 1022, 648, 641, 607, 625, 26, 155, 130, 5, 199, 1022, 648, 641]
定义函数load_data_jay_lyrics，在后续章节中直接调用。

def load_data_jay_lyrics():
    with open('/home/kesci/input/jaychou_lyrics4703/jaychou_lyrics.txt') as f:
        corpus_chars = f.read()
    corpus_chars = corpus_chars.replace('\n', ' ').replace('\r', ' ')
    corpus_chars = corpus_chars[0:10000]
    idx_to_char = list(set(corpus_chars))
    char_to_idx = dict([(char, i) for i, char in enumerate(idx_to_char)])
    vocab_size = len(char_to_idx)
    corpus_indices = [char_to_idx[char] for char in corpus_chars]
    return corpus_indices, char_to_idx, idx_to_char, vocab_size

时序数据的采样

   在训练中需要每次随机读取小批量样本和标签。与之前章节的实验数据不同的是，时序数据的一个样本通常包含连续的字符。假设时间步数为5，样本序列为5个字符，即“想”“要”“有”“直”“升”。该样本的标签序列为这些字符分别在训练集中的下一个字符，即“要”“有”“直”“升”“机”，即 X =“想要有直升”， Y =“要有直升机”。
   现在我们考虑序列“想要有直升机，想要和你飞到宇宙去”，如果时间步数为5，有以下可能的样本和标签：
   X ：“想要有直升”， Y ：“要有直升机”
   X ：“要有直升机”， Y ：“有直升机，”
   X ：“有直升机，”， Y ：“直升机，想”
   …
   X ：“要和你飞到”， Y ：“和你飞到宇”
   X ：“和你飞到宇”， Y ：“你飞到宇宙”
   X ：“你飞到宇宙”， Y ：“飞到宇宙去”
   可以看到，如果序列的长度为 T ，时间步数为 n ，那么一共有 T−n 个合法的样本，但是这些样本有大量的重合，我们通常采用更加高效的采样方式。我们有两种方式对时序数据进行采样，分别是随机采样和相邻采样。

随机采样

   下面的代码每次从数据里随机采样一个小批量。其中批量大小batch_size是每个小批量的样本数，num_steps是每个样本所包含的时间步数。 在随机采样中，每个样本是原始序列上任意截取的一段序列，相邻的两个随机小批量在原始序列上的位置不一定相毗邻。

import torch
import random
def data_iter_random(corpus_indices, batch_size, num_steps, device=None):
    # 减1是因为对于长度为n的序列，X最多只有包含其中的前n - 1个字符
    num_examples = (len(corpus_indices) - 1) // num_steps  # 下取整，得到不重叠情况下的样本个数
    example_indices = [i * num_steps for i in range(num_examples)]  # 每个样本的第一个字符在corpus_indices中的下标
    random.shuffle(example_indices)

    def _data(i):
        # 返回从i开始的长为num_steps的序列
        return corpus_indices[i: i + num_steps]
    if device is None:
        device = torch.device('cuda' if torch.cuda.is_available() else 'cpu')
    
    for i in range(0, num_examples, batch_size):
        # 每次选出batch_size个随机样本
        batch_indices = example_indices[i: i + batch_size]  # 当前batch的各个样本的首字符的下标
        X = [_data(j) for j in batch_indices]
        Y = [_data(j + 1) for j in batch_indices]
        yield torch.tensor(X, device=device), torch.tensor(Y, device=device)

   测试一下这个函数，我们输入从0到29的连续整数作为一个人工序列，设批量大小和时间步数分别为2和6，打印随机采样每次读取的小批量样本的输入X和标签Y。

my_seq = list(range(30))
for X, Y in data_iter_random(my_seq, batch_size=2, num_steps=6):
    print('X: ', X, '\nY:', Y, '\n')

输出结果:
X: tensor([[ 6, 7, 8, 9, 10, 11],
[12, 13, 14, 15, 16, 17]])
Y: tensor([[ 7, 8, 9, 10, 11, 12],
[13, 14, 15, 16, 17, 18]])

X: tensor([[ 0, 1, 2, 3, 4, 5],
[18, 19, 20, 21, 22, 23]])
Y: tensor([[ 1, 2, 3, 4, 5, 6],
[19, 20, 21, 22, 23, 24]])

相邻采样

   在相邻采样中，相邻的两个随机小批量在原始序列上的位置相毗邻。

def data_iter_consecutive(corpus_indices, batch_size, num_steps, device=None):
    if device is None:
        device = torch.device('cuda' if torch.cuda.is_available() else 'cpu')
    corpus_len = len(corpus_indices) // batch_size * batch_size  # 保留下来的序列的长度
    corpus_indices = corpus_indices[: corpus_len]  # 仅保留前corpus_len个字符
    indices = torch.tensor(corpus_indices, device=device)
    indices = indices.view(batch_size, -1)  # resize成(batch_size, )
    batch_num = (indices.shape[1] - 1) // num_steps
    for i in range(batch_num):
        i = i * num_steps
        X = indices[:, i: i + num_steps]
        Y = indices[:, i + 1: i + num_steps + 1]
        yield X, Y

   同样的设置下，打印相邻采样每次读取的小批量样本的输入X和标签Y。相邻的两个随机小批量在原始序列上的位置相毗邻。

for X, Y in data_iter_consecutive(my_seq, batch_size=2, num_steps=6):
    print('X: ', X, '\nY:', Y, '\n')

输出结果:
X: tensor([[ 0, 1, 2, 3, 4, 5],
[15, 16, 17, 18, 19, 20]])
Y: tensor([[ 1, 2, 3, 4, 5, 6],
[16, 17, 18, 19, 20, 21]])

X: tensor([[ 6, 7, 8, 9, 10, 11],
[21, 22, 23, 24, 25, 26]])
Y: tensor([[ 7, 8, 9, 10, 11, 12],
[22, 23, 24, 25, 26, 27]])

例题

1.下列关于n元语法模型的描述中错误的是：
1、P(“深度学习”)=P(“深”)P(“度”∣“深”)P(“学”∣“深度”)P(“习”∣“深度学”)
2、使用$\hat{P}({\omega }_1|{\omega }_2)=\frac{n({\omega }_1,{\omega }_2)}{n}$来近似$P({\omega }_1|{\omega }_2)$，其中 n(w1,w2) 为语料库中以 w1 作为第一个词， w2 作为第二个词的文本的数量。
3、马尔科夫假设是指各个词的出现是相互独立的，要预测下一个词首先需要计算这个词之前全部文本序列出现的概率
4、如果使用nn元语法模型存在数据稀疏问题，最终计算出来的大部分参数都是0

2.包含4个词的文本序列的概率为$P({\omega }_1,{\omega }_2,{\omega }_3,{\omega }_4)=P({\omega }_1)P({\omega }_2\mid {\omega }_1)P({\omega }_3\mid {\omega }_1,{\omega }_2)P({\omega }_4\mid {\omega }_1,{\omega }_2,{\omega }_3)$,当n=3时，基于n−1阶马尔科夫链，该概率表达可以改写为：
$1、P({\omega }_1,{\omega }_2,{\omega }_3,{\omega }_4)=P({\omega }_1)P({\omega }_2)P({\omega }_3)P({\omega }_4),$
$2、P({\omega }_1,{\omega }_2,{\omega }_3,{\omega }_4)=P({\omega }_1)P({\omega }_2\mid {\omega }_1)P({\omega }_3\mid {\omega }_2)P({\omega }_4\mid {\omega }_3),$
$3、P({\omega }_1,{\omega }_2,{\omega }_3,{\omega }_4)=P({\omega }_1)P({\omega }_2\mid {\omega }_1)P({\omega }_3\mid {\omega }_1,{\omega }_2)P({\omega }_4\mid {\omega }_2,{\omega }_3).$
$4、P({\omega }_1,{\omega }_2,{\omega }_3,{\omega }_4)=P({\omega }_1)P({\omega }_2\mid {\omega }_1)P({\omega }_3\mid {\omega }_1,{\omega }_2)P({\omega }_4\mid {\omega }_1,{\omega }_2,{\omega }_3)$
答案解释：
由2阶马尔科夫链，从第三个词开始每个词只与其前两个词有关。

3.下列关于随机采样的描述中错误的是：
1、训练数据中的每个字符最多可以出现在一个样本中
2、每个小批量包含的样本数是batch_size，每个样本的长度为num_steps
3、在一个样本中，前后字符是连续的
4、前一个小批量数据和后一个小批量数据是连续的
答案解释：
随机采样中前后批量中的数据是不连续的。

4.给定训练数据[0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10]，批量大小为batch_size=2，时间步数为2，使用本节课的实现方法进行相邻采样，第二个批量为：
1、[5, 6]和[7, 8]
2、[2, 3]和[7, 8]
3、[4, 5]和[6, 7]
4、[2, 3]和[6, 7]
答案解释：
因为训练数据中总共有11个样本，而批量大小为2，所以数据集会被拆分成2段，每段包含5个样本：[0, 1, 2, 3, 4]和[5, 6, 7, 8, 9]，而时间步数为2，所以第二个批量为[2, 3]和[7, 8]。