N结点的AVL树的最大深度是？

最新推荐文章于 2024-03-06 12:02:19 发布
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文章标签： 算法 数据结构 链表
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本文链接：https://blog.youkuaiyun.com/zhangas521/article/details/135410568
本文介绍了随着层数增加，最少结点数的递推规律，展示了从0层到多层的数值变化，这在IT技术中可能与数据结构、算法分析或图形理论相关。

摘要生成于 C知道 ，由 DeepSeek-R1 满血版支持， 前往体验 >

层数为0时，最少结点n0=0

层数为1时，最少结点n1=1

层数为2时，最少结点n2=2

层数为3时，最少结点n3=4

层数为k时，最少结点nk=n(k-1)+n(k-2)+1

0

1

2

4

7

12

20

...

zhangas2
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平衡二叉树（AVL树）深入解读
Zxn、Sirius荣耀之路
08-06 1万+
平衡二叉树又称AVL树性质：它或者是颗空树，或者是具有下列性质的二叉树： 它的左子树和右子树都是平衡二叉树，且左子树和右子树的深度之差的绝对值不超过1。 若将二叉树节点的平衡因子BF定义为该节点的左子树的深度减去它的右子树的深度，则平衡二叉树上所有节点的平衡因子只可能为-1,0,1. 只要二叉树上有一个节点的平衡因子的绝对值大于1，那么这颗平衡二叉树就失去了平衡。 根据上述性质我们可以发现图（
104. 二叉树的最大深度(三种解法） 110. 平衡二叉树(两种解法) 111. 二叉树的最小深度(两种解法)
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解法1：递归 class Solution { public: int maxDepth(TreeNode* root) { if (NULL == root) return 0; int leftDep = maxDepth(root->left) + 1; int rightDep = maxDepth(root->right) + 1; return leftDep > rightDe
AVL树最大特点（高度平衡树）
qq_29823093的博客
03-09 2074
AVL树中任何节点的两个子树的高度最大差别为1
AVL树
weixin_43008312的博客
12-31 2223
结论 1.给定节点数为n的AVL树的最大高度为O(log2 n) [根节点不算高度] 2.左右子树的高度差的绝对值不超过1 3.注:只有一个根节点的树高度为0 4.最小二叉平衡树的节点的公式如下 F(n)=F(n-1)+F(n-2)+1 例题1 含有12个结点的平衡二叉树的最大深度是（5） A(1)=1 A(2)=2 A(3)=4; A(4)=7 A(5)=12 例题2 深度为6的AVL树至少有多...
树的总结
u012864854的博客
03-30 354
（一）二叉树  相关复杂度：高度为k的二叉树最多有2^k-1，因此如果二叉排序树是平衡的，则n个节点的二叉排序树的高度为log2n+1,其查找效率为O(log2n)，近似于折半查找。如果二叉排序树完全不平衡，则其深度可达到n，查找效率为O(n)，退化为顺序查找。一般的，二叉排序树的查找性能在O(Log2n)到O(n)之间。(对于二叉排序树，高度决定了查找效率) 1.二叉查找树（BST树）（1）若左...
数据结构与算法16—平衡二叉(AVL)树
weixin_30787531的博客
05-24 967
我们知道，对于一般的二叉搜索树（Binary Search Tree），其期望高度（即为一棵平衡树时）为log2n，其各操作的时间复杂度O(log2n)同时也由此而决定。但是，在某些极端的情况下（如在插入的序列是有序的时），二叉搜索树将退化成近似链或链，此时，其操作的时间复杂度将退化成线性的，即O(n)。我们可以通过随机化建立二叉搜索树来尽量的避免这种情况，但是在进行了多次的操作之后，由于在...
AVL树总结
hongxi_的博客
03-06 315
{}// 该节点的左孩子// 该节点的右孩子// 该节点的双亲T _data;int _bf;// 该节点的平衡因子。
HDU 2193 AVL树(给节点求最大高度)
mazicwong的博客
09-03 7154
连接:  http://acm.split.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=2193 AVL Tree Time Limit: 1000/1000 MS (Java/Others)    Memory Limit: 32768/32768 K (Java/Others) Total Submission(s): 534    Accepted S
二叉树的最大深度详解！！！！
嘻嘻嘻
10-25 922
在向大佬的路上迈进的路上，我看见了一个简单到不能再简单的题emmmm，题目如下： 求给定二叉树的最大深度， 最大深度是指树的根结点到最远叶子结点的最长路径上结点的数量。。 （看代码注解） //小兄弟先自己做了做，因为太长时间没有做过编程题了...见谅 /* * 在做二叉树之前，你需要熟悉二叉树的结构，了解二叉树的基本构造，这里 * 就不过多解释了。前段时间刚好用过递归，首先想到的就是递归，而用到递 * 归首先应该定义一个出口，毫无疑问，当当前节点为null时，递归结束。 */ import j
AVL树，红黑树，B树与B+树
liang3720的博客
08-15 8564
总体对比： https://blog.youkuaiyun.com/whoamiyang/article/details/51926985 AVL树 https://www.cnblogs.com/skywang12345/p/3576969.html 最先发明的自平衡二叉查找树，也被称为高度平衡树。相比于”二叉查找树”，它的特点是：AVL树中任何节点的两个子树的高度最大差别为1。 AVL树的查找、...
数据结构作业20—动态查找表（选择题）
banya1999的博客
12-23 1万+
2-1在下列所示的平衡二叉树中，插入关键字48后得到一棵新平衡二叉树。在新平衡二叉树中，关键字37所在结点的左、右子结点中保存的关键字分别是： (2分) A.24、53 B.24、90 C.24、48 D.13、48 作者: DS课程组 单位: 浙江大学 2-2下列二叉搜索树中，满足平衡二叉树定义的是： (1分) A B C D 作者: DS课程组 单位: ...
【PTA】【数据结构与算法】AVL树
葑鈊丶
01-10 1万+
判断题 1.Insert 1, 2, 3, 4, 5, and 6 one by one into an initially empty AVL tree. Then the preorder traversal sequence of the resulting tree must be {4, 2, 1, 3, 5, 6}. (2分) T F 解析：以下演示了插入的过程，最后旋转.........
平衡树的深度与最少结点数问题
Bing's Blog
10-20 2万+
对于一棵平衡树，如果以NhN_h表示深度为h时含有的最少结点数。有如下的规律： N0=0,N1=1,N2=2;Nh=Nh−1+Nh−2+1 N_0 = 0, N_1 = 1, N_2 = 2; \\ N_h = N_{h-1} + N_{h-2}+1 这里研究的是最小结点数，最多结点数自然是满二叉树时的，不必像最少结点这样需要递推分析。通常会围绕着最少结点，最大深度反复考察这个知识点。比如给定深度
平衡二叉树的最大深度和最少节点数
Anthony_4926
06-11 1万+
因为最小结点的情况是 左子树结点比右子树多1。 设h为高度，则有S(h) = S(h-1) + S(h-2) + 1 并且S1 = 1, S2 = 2，这是左边两结点，右边一结点的情况。
详解AVL树（平衡二叉树）
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水澹澹兮生烟
09-20 2万+
插入节点后对树进行旋转调整，分为四种情况。 1.右单旋 当一个平衡二叉树满足具有较高左子树时（如下图A），且要插入的节点插入到了较高左子树的左侧，此时进行右单旋。
AVL的详细讲解
linkedin_39403967的博客
07-26 1689
http://www.cnblogs.com/vamei/archive/2013/03/21/2964092.html 存在的问题:AVL能够使得二叉树维持绝对的平衡：最大深度与最小深度之差最多为1。而Red-black通过红黑树的五条性质，使得红黑树的最大深度能为h≤2log(n+1)h \le 2log(n+1)，并不能有AVL这样的绝对平衡性。但他们的深度都能在O(lgn)O(lgn)。
(平衡二叉树最少结点最大深度公式...？)HDU 2193 AVL Tree
AC~
03-18 9859
查看原题题意输入结点数，输出平衡二叉树的最大深度，根结点不算思路a[i]=a[i-1]+a[i-2]+1; 这个公式不知道哪来的，但是真的是这么一回事，等会推推看代码#include <iostream> using namespace std; int a[46]; int n; int main() { a[0]=1;a[1]=2; for (in
DS_BST
m0_61758697的博客
10-16 2935
其中BinTree};函数IsBST须判断给定的T是否二叉搜索树，即满足如下定义的二叉树：定义：一个二叉搜索树是一棵二叉树，它可以为空。非空左子树的所有键值小于其根结点的键值。非空右子树的所有键值大于其根结点的键值。左、右子树都是二叉搜索树。如果T是二叉搜索树，则函数返回true，否则返回false。
AVL最大深度公式
最新发布
06-13
<think>首先，用户在问：“我想查找AVL树的最大深度计算公式”，并且提供了引用[1]到[5]。我需要基于这些引用和系统指令来回答。系统指令关键点：-所有行内数学表达式用$...$格式。-独立公式用$$...$$格式并单独成段。-使用中文回答。-生成相关问题。-引用的段落末尾添加引用标识，如[^1]。-结构清晰，逐步解决问题。-回答真实可靠。用户的问题：查找AVL树的最大深度计算公式。从提供的引用中提取相关信息：-引用[2]：“高度h与节点之间关系的公式在高度h的AVL树中，最少节点数S(h)由S(h)=S(h-1)+S(h-2)+1标识对于h，S(h)=1;h=1,S(h)=2，明显函数S(h)与斐波那契数列密切相关，由此我们可以推算出AVL数的高度的界限1.44log(N+2)-1.328。”这涉及到最大深度。最大深度对应于给定节点数时的最大高度。引用[5]：“1.假设Nh为深度为h的平衡树中含有的最少结点数，那么可以得到N0=0，N1=1，N2=2，递推得到公式Nh=Nh-1+Nh-2+1。2.含有N个结点的平衡二叉树最大深度为O(log2n)，平均查找长度为O(log2n)。”AVL树的深度通常指的是高度（从根到叶子的最长路径的节点数）。在引用[2]和[5]中，他们讨论了给定高度h时最少节点数，反之亦然，给定节点数N时，最大高度h。公式：-最大深度（高度）h与节点数N的关系是O(logn)，具体公式来自斐波那契关系。从引用[2]：高度h的AVL树的最小节点数是S(h)=S(h-1)+S(h-2)+1，边界h≈1.44log(N+2)-1.328。这是对数的近似。AVL树是平衡的，最大深度为O(logn)，具体公式可以从最小节点数递归推导。标准公式：-对于一个AVL树有N个节点，最大高度h满足S(h)=S(h-1)+S(h-2)+1，其中S(0)=1,S(1)=2?等等，需要在引用中确认。引用[2]：-S(h)=S(h-1)+S(h-2)+1-Forh=0,S(h)=1?但h=0时只有一个节点或空树？标准是：-通常，空树高度-1。-S(h)是最小节点数高度为h的树。-h=0：一个节点，高度0，S(0)=1-h=1：高度1，最小节点数是2（根和一个孩子），S(1)=2-引用中："高度h与节点之间关系的公式在高度h的AVL树中，最少节点数S(h)由S(h)=S(h-1)+S(h-2)+1标识对于h，S(h)=1;h=1,S(h)=2"-"对于h"，可能h=0时S=1,h=1时S=2。然后S(h)≈φ^{h+2}/√5-1/2或其他斐波那契公式。反向，对于N节点，最大高度h满足S(h)<=N.边界h<=clogN.具体公式：从引用[2]，h≤1.44log(N+2)-1.328但1.44是1/log_2φwhereφ=goldenratio≈1.618，所以1/log2φ≈1/log21.618≈1/0.694≈1.44.log通常以2为底。公式为h≤1.44log_2N+O(1)更精确地从S(h)=F_{h+3}-1或类似，其中F是斐波那契数列。在引用中直接给出："AVL数的高度的界限1.44log(N+2)-1.328"所以这是最大高度的上限。由于AVL树是平衡的，平均高度也是O(logn)。用户问最大深度公式，所以重点是最大可能高度给出N节点。在回答中，我需要：-用中文。-定义清楚深度/高度。-给出公式用LaTeX。-行内公式用$...$，如$h\leq1.44\log_2(N+2)-1.328$-独立公式可能用$$...$$如果显示递归关系。也需要生成相关问题。结构：1.介绍AVL树和最大深度的概念。2.推导或给出最大深度公式。3.使用引用来支持。4.添加相关问题。5.确保LaTeX正确。从引用添加标识：例如[^2]对于高度公式。可能的回答大纲：-AVL树是自平衡二叉查找树，高度差不超过1。-最大深度（高度）h与节点数N相关。-最小节点数公式：$$S(h)=S(h-1)+S(h-2)+1$$withbasecasesS(0)=1,S(1)=2.-由此，最大高度h≤clogN,具体地h≤1.44log_2N+O(1)-精确公式：来自引用[2],h≤1.44\log_2(N+2)-1.328-用数学表达式。为生成相关问题：-类似示例中快速排序的问题。-可能：AVL树的其他属性？插入删除操作？与红黑树的比较？等。相关问题想法：1.AVL树插入操作如何影响深度？2.AVL树删除节点的平衡方法？3.AVL树和红黑树在深度上的比较？引用[4]提到了红黑树。4.AVL树的应用场景？5.如何计算AVL树的高度在实现中？确保回答可靠：基于引用和标准知识。</think> ### AVL树最大深度计算公式解析 AVL树是一种自平衡二叉查找树，其核心特性是任意节点的左右子树高度差（即平衡因子）不超过1[^3]。这确保了树的深度（或高度）保持在对数级别，从而实现了高效的查找、插入和删除操作（时间复杂度为$O(\log n)$）[^2][^3]。深度（depth）通常指树的高度（height），即从根节点到最远叶节点的路径长度（节点数或边数；本文采用节点数定义）[^2][^5]。 您查询的“最大深度公式”是指给定节点数$N$时，AVL树可能达到的最大高度$h_{\text{max}}$。这个公式可以从最小节点数递归关系中推导出来（基于斐波那契数列）。以下是逐步解释： #### 1. **最小节点数公式** 在高度为$h$的AVL树中，最小节点数$S(h)$满足递归关系： $$ S(h) = S(h-1) + S(h-2) + 1 $$ 其中基例如下： - $S(0) = 1$（单一根节点，高度为0） - $S(1) = 2$（根节点和一个子节点，高度为1） 这个递归关系源于AVL树的平衡特性：最小节点数对应于一种“最不丰满”的树形，类似斐波那契数列[^2][^5]。 #### 2. **最大深度公式** 给定节点数$N$，最大高度$h_{\text{max}}$表示树在最不平衡情况下可能达到的最大深度。从最小节点数$S(h)$，我们可以推导：$h_{\text{max}}$ 满足$S(h_{\text{max}}) \leq N < S(h_{\text{max}}+1)$[^2][^5]。通过求解递归关系，$S(h)$ 与斐波那契数相关，得出高度界限： $$ h_{\text{max}} \leq 1.44 \log_2 (N + 2) - 1.328 $$ 这里： - $h_{\text{max}}$ 是最大高度（节点数定义）。 - $\log_2$ 是以2为底的对数。 - 公式给出的是渐进上界，即 $h_{\text{max}} = O(\log N)$，系数1.44约等于 $\frac{1}{\log_2 \phi}$（其中$\phi \approx 1.618$是黄金比例），确保树高对数增长[^2][^5]。 **例子解释：** - 当 $N=1$ 时，树高 $h=0$，公式计算：$h_{\text{max}} \leq 1.44 \log_2 (3) - 1.328 \approx 1.44 \times 1.58 - 1.328 \approx 0.6$，由于$h$为整数，实际最大高度为0。 - 当 $N=10$ 时，公式计算：$h_{\text{max}} \leq 1.44 \log_2 (12) - 1.328 \approx 1.44 \times 3.58 - 1.328 \approx 4.0$，实际高度不超过3（因高度为3时最小节点数$S(3)=S(2)+S(1)+1=4+2+1=7$，高度为4时最小节点数$S(4)=S(3)+S(2)+1=7+4+1=12$）[^2][^5]。 此公式表明，AVL树的最大深度远低于普通二叉搜索树（后者可能退化到$O(N)$），这也是AVL树适用于动态数据集的优势所在[^3][^4]。 #### 3. **实现与注意事项** 在AVL树的代码实现中（如参考引用所示），通常使用节点高度字段（如`height`）来维护平衡。插入或删除节点后，通过旋转操作重新平衡树，确保高度差$\leq 1$，从而维护最大深度的界限[^1][^2]。实际应用中，公式虽为理论边界，但通过测量平均高度可验证其高效性（平均查找长度为$O(\log N)$）[^5]。
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