N结点的AVL树的最大深度是？

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#算法 #数据结构 #链表

本文介绍了随着层数增加，最少结点数的递推规律，展示了从0层到多层的数值变化，这在IT技术中可能与数据结构、算法分析或图形理论相关。

层数为0时，最少结点n0=0

层数为1时，最少结点n1=1

层数为2时，最少结点n2=2

层数为3时，最少结点n3=4

层数为k时，最少结点nk=n(k-1)+n(k-2)+1

0

1

2

4

7

12

20

...

zhangas2
关注
平衡二叉树（AVL树）
静水流深
04-15 1815
平衡二叉树 或者是一颗空树，或者它的左右子树都是平衡二叉树，且左子树和右子树的深度之差不超过1 。 BF（Balance Factor） 我们将二叉树上节点的左子树深度减去右子树深度的值成为平衡因子。那么平衡二叉树上所有节点的平衡因子只可能是-1,0,1.只要二叉树上有一个节点的平衡引子的绝对值大于1，则该二叉树就是不平衡的。
【C++】AVL树
春风不语。
10-04 1924
本篇内容到这里就结束了，主要讲了AVL树的定义与主要接口实现，希望对大家有帮助，祝生活愉快，我们下一篇再见！
DS_BST
m0_61758697的博客
10-16 2993
其中BinTree};函数IsBST须判断给定的T是否二叉搜索树，即满足如下定义的二叉树：定义：一个二叉搜索树是一棵二叉树，它可以为空。非空左子树的所有键值小于其根结点的键值。非空右子树的所有键值大于其根结点的键值。左、右子树都是二叉搜索树。如果T是二叉搜索树，则函数返回true，否则返回false。
数据结构(python) —— 【28: AVL树】
土豆同学的博客
10-22 790
AVL树 上一篇博客说到二叉搜索树的效率在最坏的情况下可能十分偏斜: 数据结构(python) —— 【27: 二叉搜索树】 而AVL树是对二叉搜索树的优化，今天就来说说AVL树！ 1. 概念 AVL树: AVL树是一棵自平衡的二叉搜索树。 AVL树具有以下性质: 根的左右子树的高度之差的绝对值不能超过1 根的左右子树都是平衡二叉树 其中高度之差我们用**balance factor(平衡因子)**来进行解释。平衡因子的正负号表示左右子树哪边的深度大，可以自己定义。这里我定义了左子树深度>右子树
104. 二叉树的最大深度(三种解法） 110. 平衡二叉树(两种解法) 111. 二叉树的最小深度(两种解法)
sy_123a的专栏
06-30 792
解法1：递归 class Solution { public: int maxDepth(TreeNode* root) { if (NULL == root) return 0; int leftDep = maxDepth(root->left) + 1; int rightDep = maxDepth(root->right) + 1; return leftDep > rightDe
AVL树最大特点（高度平衡树）
qq_29823093的博客
03-09 2099
AVL树中任何节点的两个子树的高度最大差别为1
C++：AVL树深度剖析
Jdxxwu的博客
11-19 2100
文章讲深度解析AVL树原理与模拟实现，持续更新中. . .
平衡二叉搜索树（AVL树）及其实现
weixin_44396684的博客
11-26 340
AVL树： AVL树是良好平衡的，在一颗AVL树中，每个结点的子树的高度差距为0或者1。可以得出一个AVL树的最大高度为O(log n)。 平衡因子：右子树的高度减去左子树的高度。 左偏重：如果结点的平衡因子为-1 或更小。 右偏重：如果结点的平衡因子为+1 或更大。 旋转：一个结点重新获得平衡的过程，有4 种可能的旋转：LL、RR、LR、RL。 LL旋转：以下情况使用LL旋转 RR旋转：以下情况使用RR旋转 LR旋转：以下情况使用LR旋转 RL旋转：以下情况使用R
平衡二叉树(AVL)
m0_52290532的博客
11-30 3045
平衡二叉树的定义 平衡二叉树(Balance Binary Tree)，简称平衡树(AVL树)，树上任意结点的左子树和右子树的高度之差不超过1。 平衡因子=左子树高-右子树高 平衡二叉树结点的平衡因子的值只可能是1、-1、0。只要有任意结点的平衡因子不等于这三个值，那么二叉树不平衡。 ...
平衡搜索二叉树——AVL树
h1091068389的博客
06-03 526
正常的搜索二叉树中，一般而言查找一个数的时间复杂度几乎可以等价于log2N，但是正常的搜索二叉树可能会遇到一些极端情况，例如按照1，2，3，4插入数组，此时的搜索二叉树便会变为如下的情况： 这种数据有序或者接近有序的插入数据此时的搜索二叉树会退化为一个单分支，此时查找效率就变成了O(n)，并不能体现搜索二叉树的优势。此时，有两位数学家提出了一种方法来解决这种问题：当向二叉搜索树中插入新结点后，如果能保证每个结点的左右子树高度之差的绝对值不超过1(需要对树中的结点进行调整)，即可降低树的高度，从而减少平均搜
AVL树
weixin_43008312的博客
12-31 2295
结论 1.给定节点数为n的AVL树的最大高度为O(log2 n) [根节点不算高度] 2.左右子树的高度差的绝对值不超过1 3.注:只有一个根节点的树高度为0 4.最小二叉平衡树的节点的公式如下 F(n)=F(n-1)+F(n-2)+1 例题1 含有12个结点的平衡二叉树的最大深度是（5） A(1)=1 A(2)=2 A(3)=4; A(4)=7 A(5)=12 例题2 深度为6的AVL树至少有多...
二叉树之AVL树
mrbone9的博客
03-09 844
今天来细说下 AVL 树，并结合图示代码来认识并掌握 AVL 树的创建，删除，体会下 AVL 特有的自平衡性。 本文涉及比较多的内容，鉴于时间关系，当你看到时可能是未完结章节，尽情期待 目录： AVL 概念 AVL 的旋转 AVL 树代码实现（C语言） 测试实例 AVL 概念 AVL 也是二叉树的一种，所以符合所有二叉树应有的特性，以及遍历方法 与二叉树不同的是，AVL树是一颗平衡树： 节点 root，左子节点的高度 与 右子节点的高度，最大差值 = 1 下面看看 AV
树的总结
u012864854的博客
03-30 535
（一）二叉树  相关复杂度：高度为k的二叉树最多有2^k-1，因此如果二叉排序树是平衡的，则n个节点的二叉排序树的高度为log2n+1,其查找效率为O(log2n)，近似于折半查找。如果二叉排序树完全不平衡，则其深度可达到n，查找效率为O(n)，退化为顺序查找。一般的，二叉排序树的查找性能在O(Log2n)到O(n)之间。(对于二叉排序树，高度决定了查找效率) 1.二叉查找树（BST树）（1）若左...
平衡二叉树(AVL)(BBT)
YKbsmn的博客
06-21 3249
1、灵魂三问 1.1、为什么引入平衡二叉树这种结构？ 为避免树的高度增长过快，导致降低二叉排序树的性能。 1.2 什么是平衡二叉树
查找树（二）：AVL树
Ju的博客
08-30 1164
目录：1. AVL树2. 插入操作2.1 单旋转2.2 双旋转2.3 整棵树都平衡了吗？3. 删除操作 1. AVL树 从前面的探讨已经可以知道，普通的二分查找树的查找操作并不能实现O(log2n)的时间复杂度，因此需要为它添加平衡条件。这包含两个层面的意思： 添加了平衡条件后，树的深度必须是O(log2(N))，毕竟这就是我们添加平衡条件的初衷； 平衡条件必须要容易保持。举个例子，说起平衡条件，最容易想到的就是让每个节点的的左右子树的高度都保持一致，虽然这种平衡条件保证了树的深度，但它“太严格了”，因而
数据结构与算法16—平衡二叉(AVL)树
weixin_30787531的博客
05-24 1032
我们知道，对于一般的二叉搜索树（Binary Search Tree），其期望高度（即为一棵平衡树时）为log2n，其各操作的时间复杂度O(log2n)同时也由此而决定。但是，在某些极端的情况下（如在插入的序列是有序的时），二叉搜索树将退化成近似链或链，此时，其操作的时间复杂度将退化成线性的，即O(n)。我们可以通过随机化建立二叉搜索树来尽量的避免这种情况，但是在进行了多次的操作之后，由于在...
AVL-Review
ahahayaa的博客
10-24 696
F(3) = F(0) + F(1) + 1 = 4, 即如果树的深度为2, 那么树中至少有4个节点。F(6) = 33 ----> 即如果树的深度要为6, 那么该树拥有的最少节点应为33。F(n)所求的皆为深度为n时的最少节点数, 如果小于该节点数, 则无法有第n层。：树的根节点到该节点的边的个数，树的深度等于树中该节点的最大层次。F(0) = 1, 即如果树的深度为0, 那么树中至少有1个节点。F(1) = 2, 即如果树的深度为1, 那么树中至少有2个节点。
数据结构之——AVL树
m0_71974552的博客
11-21 1864
深入理解 AVL 树：平衡与高效的数据结构
AVL树总结
hongxi_的博客
03-06 336
{}// 该节点的左孩子// 该节点的右孩子// 该节点的双亲T _data;int _bf;// 该节点的平衡因子。
AVL最大深度公式
最新发布
06-13
<think>首先，用户在问：“我想查找AVL树的最大深度计算公式”，并且提供了引用[1]到[5]。我需要基于这些引用和系统指令来回答。系统指令关键点：-所有行内数学表达式用$...$格式。-独立公式用$$...$$格式并单独成段。-使用中文回答。-生成相关问题。-引用的段落末尾添加引用标识，如[^1]。-结构清晰，逐步解决问题。-回答真实可靠。用户的问题：查找AVL树的最大深度计算公式。从提供的引用中提取相关信息：-引用[2]：“高度h与节点之间关系的公式在高度h的AVL树中，最少节点数S(h)由S(h)=S(h-1)+S(h-2)+1标识对于h，S(h)=1;h=1,S(h)=2，明显函数S(h)与斐波那契数列密切相关，由此我们可以推算出AVL数的高度的界限1.44log(N+2)-1.328。”这涉及到最大深度。最大深度对应于给定节点数时的最大高度。引用[5]：“1.假设Nh为深度为h的平衡树中含有的最少结点数，那么可以得到N0=0，N1=1，N2=2，递推得到公式Nh=Nh-1+Nh-2+1。2.含有N个结点的平衡二叉树最大深度为O(log2n)，平均查找长度为O(log2n)。”AVL树的深度通常指的是高度（从根到叶子的最长路径的节点数）。在引用[2]和[5]中，他们讨论了给定高度h时最少节点数，反之亦然，给定节点数N时，最大高度h。公式：-最大深度（高度）h与节点数N的关系是O(logn)，具体公式来自斐波那契关系。从引用[2]：高度h的AVL树的最小节点数是S(h)=S(h-1)+S(h-2)+1，边界h≈1.44log(N+2)-1.328。这是对数的近似。AVL树是平衡的，最大深度为O(logn)，具体公式可以从最小节点数递归推导。标准公式：-对于一个AVL树有N个节点，最大高度h满足S(h)=S(h-1)+S(h-2)+1，其中S(0)=1,S(1)=2?等等，需要在引用中确认。引用[2]：-S(h)=S(h-1)+S(h-2)+1-Forh=0,S(h)=1?但h=0时只有一个节点或空树？标准是：-通常，空树高度-1。-S(h)是最小节点数高度为h的树。-h=0：一个节点，高度0，S(0)=1-h=1：高度1，最小节点数是2（根和一个孩子），S(1)=2-引用中："高度h与节点之间关系的公式在高度h的AVL树中，最少节点数S(h)由S(h)=S(h-1)+S(h-2)+1标识对于h，S(h)=1;h=1,S(h)=2"-"对于h"，可能h=0时S=1,h=1时S=2。然后S(h)≈φ^{h+2}/√5-1/2或其他斐波那契公式。反向，对于N节点，最大高度h满足S(h)<=N.边界h<=clogN.具体公式：从引用[2]，h≤1.44log(N+2)-1.328但1.44是1/log_2φwhereφ=goldenratio≈1.618，所以1/log2φ≈1/log21.618≈1/0.694≈1.44.log通常以2为底。公式为h≤1.44log_2N+O(1)更精确地从S(h)=F_{h+3}-1或类似，其中F是斐波那契数列。在引用中直接给出："AVL数的高度的界限1.44log(N+2)-1.328"所以这是最大高度的上限。由于AVL树是平衡的，平均高度也是O(logn)。用户问最大深度公式，所以重点是最大可能高度给出N节点。在回答中，我需要：-用中文。-定义清楚深度/高度。-给出公式用LaTeX。-行内公式用$...$，如$h\leq1.44\log_2(N+2)-1.328$-独立公式可能用$$...$$如果显示递归关系。也需要生成相关问题。结构：1.介绍AVL树和最大深度的概念。2.推导或给出最大深度公式。3.使用引用来支持。4.添加相关问题。5.确保LaTeX正确。从引用添加标识：例如[^2]对于高度公式。可能的回答大纲：-AVL树是自平衡二叉查找树，高度差不超过1。-最大深度（高度）h与节点数N相关。-最小节点数公式：$$S(h)=S(h-1)+S(h-2)+1$$withbasecasesS(0)=1,S(1)=2.-由此，最大高度h≤clogN,具体地h≤1.44log_2N+O(1)-精确公式：来自引用[2],h≤1.44\log_2(N+2)-1.328-用数学表达式。为生成相关问题：-类似示例中快速排序的问题。-可能：AVL树的其他属性？插入删除操作？与红黑树的比较？等。相关问题想法：1.AVL树插入操作如何影响深度？2.AVL树删除节点的平衡方法？3.AVL树和红黑树在深度上的比较？引用[4]提到了红黑树。4.AVL树的应用场景？5.如何计算AVL树的高度在实现中？确保回答可靠：基于引用和标准知识。</think> ### AVL树最大深度计算公式解析 AVL树是一种自平衡二叉查找树，其核心特性是任意节点的左右子树高度差（即平衡因子）不超过1[^3]。这确保了树的深度（或高度）保持在对数级别，从而实现了高效的查找、插入和删除操作（时间复杂度为$O(\log n)$）[^2][^3]。深度（depth）通常指树的高度（height），即从根节点到最远叶节点的路径长度（节点数或边数；本文采用节点数定义）[^2][^5]。 您查询的“最大深度公式”是指给定节点数$N$时，AVL树可能达到的最大高度$h_{\text{max}}$。这个公式可以从最小节点数递归关系中推导出来（基于斐波那契数列）。以下是逐步解释： #### 1. **最小节点数公式** 在高度为$h$的AVL树中，最小节点数$S(h)$满足递归关系： $$ S(h) = S(h-1) + S(h-2) + 1 $$ 其中基例如下： - $S(0) = 1$（单一根节点，高度为0） - $S(1) = 2$（根节点和一个子节点，高度为1） 这个递归关系源于AVL树的平衡特性：最小节点数对应于一种“最不丰满”的树形，类似斐波那契数列[^2][^5]。 #### 2. **最大深度公式** 给定节点数$N$，最大高度$h_{\text{max}}$表示树在最不平衡情况下可能达到的最大深度。从最小节点数$S(h)$，我们可以推导：$h_{\text{max}}$ 满足$S(h_{\text{max}}) \leq N < S(h_{\text{max}}+1)$[^2][^5]。通过求解递归关系，$S(h)$ 与斐波那契数相关，得出高度界限： $$ h_{\text{max}} \leq 1.44 \log_2 (N + 2) - 1.328 $$ 这里： - $h_{\text{max}}$ 是最大高度（节点数定义）。 - $\log_2$ 是以2为底的对数。 - 公式给出的是渐进上界，即 $h_{\text{max}} = O(\log N)$，系数1.44约等于 $\frac{1}{\log_2 \phi}$（其中$\phi \approx 1.618$是黄金比例），确保树高对数增长[^2][^5]。 **例子解释：** - 当 $N=1$ 时，树高 $h=0$，公式计算：$h_{\text{max}} \leq 1.44 \log_2 (3) - 1.328 \approx 1.44 \times 1.58 - 1.328 \approx 0.6$，由于$h$为整数，实际最大高度为0。 - 当 $N=10$ 时，公式计算：$h_{\text{max}} \leq 1.44 \log_2 (12) - 1.328 \approx 1.44 \times 3.58 - 1.328 \approx 4.0$，实际高度不超过3（因高度为3时最小节点数$S(3)=S(2)+S(1)+1=4+2+1=7$，高度为4时最小节点数$S(4)=S(3)+S(2)+1=7+4+1=12$）[^2][^5]。 此公式表明，AVL树的最大深度远低于普通二叉搜索树（后者可能退化到$O(N)$），这也是AVL树适用于动态数据集的优势所在[^3][^4]。 #### 3. **实现与注意事项** 在AVL树的代码实现中（如参考引用所示），通常使用节点高度字段（如`height`）来维护平衡。插入或删除节点后，通过旋转操作重新平衡树，确保高度差$\leq 1$，从而维护最大深度的界限[^1][^2]。实际应用中，公式虽为理论边界，但通过测量平均高度可验证其高效性（平均查找长度为$O(\log N)$）[^5]。
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