对数的性质及推导

对数的性质及推导定义

自然语言表达式 ： 标准语言表达式 ：

若a n=b(a>0且a≠1) 则n=log _ab 若a^n=b(a>0且a≠1)则n=log（a^b）

基本性质

1、a log_ab=b a^{log(a^b)}=b

2、log _a(MN)=log _aM+log _aN log{a^(MN)}=log(a^M)+log（a^N）

3、log _a(M÷N)=log _aM-log _aN log{a^(M/N)}=log(a^M)-log(a^N)

4、log _a(M n)=nlog _aM log{a^(M^n)}=nlog(a^M)

5、log(a n )(M)=1/nlog _a M log{（a^n）^M}=1/nlog(a^M)

推导

1、因为n=log _ab，代入则a n=b，即a (log(a)(b))=b。

2、令log _a(MN)=b,则有 _ab=MN；

令log _a(M)=c,log _a(N)=d,则有a c=M,a d=N；

(a c)*(a d)=a (c+d)=MN=a b；

则c+d=b；推出log _a(M)+log _a(N)=log _a(MN)。

3、令log _a(M÷N)=b,则有a b=M÷N；

令log _a(M)=c,log _a(N)=d,则有a c=M,a d=N；

(a c)÷(a d)=a c-d=M÷N=a b；

则c-d=b；推出log(a)(M)-log(a)(N) =log(a)(M÷N)。

4、令log _a(M n)=b,则有a b=M n； 令log _aM=c,则有a c=M；

a b=M n=(a c) n=a cn

b=cn；

log _a(M n)=nlog _aM。

5、令log _a n(M)=b,则(a n) b=M,a nb=M；

令log _aM=c,则a c=M；

a c=M=a nb,则c=nb；

log _aM=nlog _a n(M)；

log _a n(M)=1/nlog _aM。