N!

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题目描述

首先很感谢刘老师能给我这次机会给大家出题,希望大家做完题后能有所收获,如果有任何问题还请海涵,毕竟出套题不容易……TAT
题目整体不难,大体是给我带的大一新生出题的难度,所以请各位放心。
If you want to learn something from other people, remember, stay hunger.---shadow95  
Now, your first problem comes~  
This task is very simple, please calculate how many zeros are there at the end of calculation of n!.  
For example, 15! = 1307674368000, so answer is 3.

输入

 At the first line, there is a number T indicating the number of test cases.  
Then, following T lines, each line there is a number n (n<10^9).

输出

For each case, output the case number and answer in one line.  

示例输入

3
5
100
1024

示例输出

Case #1: 1
Case #2: 24
Case #3: 253

提示

 

来源

 HDU shadow95

示例程序

  1. #include<stdio.h>  
  2. #include<string.h>  
  3.   
  4. int fun(int n)  
  5. {  
  6.     int sum=0;  
  7.     while(n)  
  8.     {  
  9.         n=n/5;  
  10.         sum+=n;  
  11.     }  
  12.     return sum;  
  13. }  
  14.   
  15. int main()  
  16. {  
  17.     int t, T, n;  
  18.     scanf("%d", &T);  
  19.     for(int t=1;t<=T;t++)  
  20.     {  
  21.         scanf("%d", &n);  
  22.         int re=fun(n);  
  23.         printf("Case #%d: %d\n", t, re);  
  24.     }  
  25.     return 0;  
  26. }   
  27.   

 

<think>好的,我现在需要处理用户的问题,关于如何计算或理解n乘以n的阶乘的数学表达式。首先,用户的问题是要得到n乘以n!的表达式,可能需要解释或者推导过程。我应该先回忆阶乘的基本定义,然后看看n乘以n!有什么规律或者简化的方法。 首先,阶乘的定义是n! = n × (n-1) × ... × 1。那么n乘以n!就是n × n!,这看起来像是一个新的表达式,但可能需要将其转化为更简洁的形式。比如,n × n!是否可以表示为(n+1)!减去某个部分?或者有没有可能直接简化成另一个阶乘形式? 根据数学中的阶乘性质,记得有一个性质是n! × (n+1) = (n+1)!。所以如果原式是n × n!,那是否可以和这个性质联系起来?比如,n × n! = (n+1)! - n!,或者有没有其他的变形方式? 让我验证一下这个想法。例如,当n=3时,3×3! = 3×6=18。而4! =24,24 -6=18,确实等于3×3!。所以这个等式成立。那这个等式是否普遍适用呢?假设对于一般的n,n×n! = (n+1)! -n!,那么这可以作为一个简化的表达式。 因此,n乘以n!可以表示为(n+1)! -n!,或者更直接的是,根据阶乘的递推关系,n×n! = (n+1)! -n!。这可能帮助用户将表达式转化为更简洁的形式,或者用于某些证明或计算中。 另外,用户可能需要知道n×n!本身的表达式是否有特定的名称或应用,例如在排列组合中的意义。例如,排列数P(n+1, n)等于(n+1)!,而这里n×n!可能与某些排列问题相关。 接下来,我需要确保这些推导是正确的,并且没有遗漏其他可能的表达方式。比如,是否有其他数学公式或定理涉及n×n!,或者是否可以用递归的方式表示它。此外,可能还需要考虑是否可以用积分、级数或其他高等数学方法来表达,但根据用户的问题,可能更关注代数上的简化。 总结起来,用户的问题可以通过两种方式解答:直接表达式n×n!,或者转换为(n+1)! -n!。同时,需要解释这种转换的正确性,并通过例子验证。此外,可能还需要说明这种表达式在数学中的应用场景,比如级数求和或递推关系中。 在编写回答时,需要按照用户的要求,分点说明,不使用第一人称,避免步骤词汇,正确使用数学公式的格式。例如,将n×n!写成$n \times n!$,而(n+1)! -n!则写成$(n+1)! - n!$。同时,需要给出具体的例子,如当n=3时的计算过程,以增强理解。 最后,生成相关问题时要基于原问题,比如询问阶乘的其他性质、递推关系的应用,或者数学证明的方法。确保问题相关且有逻辑连贯性。</think>通过数学推导可以确定,$n \times n!$ 的表达式存在两种等效表达形式: $n \times n! = (n+1)! - n!$ 该等式通过阶乘的递推性质推导得出。根据阶乘定义,$(n+1)! = (n+1) \times n!$,展开后得到: $$(n+1)! = n \times n! + 1 \times n!$$ 移项后立即得出原式 **数值验证示例** 当 $n=3$ 时: $3 \times 3! = 3 \times 6 = 18$ $(4! - 3!) = 24 - 6 = 18$ 两种计算方式结果一致 **编程实现示例** ```python def compute_expression(n): return n * math.factorial(n) # 验证n=5时的结果 import math n = 5 print(n * math.factorial(n)) # 输出600 print(math.factorial(n+1) - math.factorial(n)) # 同样输出600 ```
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