数据结构与算法学习笔记(第四天)

图

相关概念

元素之间存在多对多关系(线性表的元素之间存在前驱和后继，树的元素之间存在父子关系，图的任意元素之间都有可能存在关系)
 由顶点的有穷非空集合和顶点之间边的集合组成。
 在图型数据结构中，数据被称为顶点，数据之间的关系统称为边。
 在图中不允许出现没有点，但可以没有边。
 G(V,E)，V表示顶点的集合，E表示边的集合 

各种图的定义

	无向图：顶点与顶点之间没有方向，这种边称为无向边，边用无向偶对表示(v,v1)。
V={A,B,C,D} E={(A,B),(B,C),(C,D),(D,A),(A,C)}
	在无向图中，如果任意两个顶点之间都存在边，这种图称为无向完全图。
	无向完全图的边的数量：n*(n-1)/2(n指无向图的顶点数)。
	有向图：若顶点之间有方向，这种边称为有向边，也叫弧，用有序偶对表示<v,v1>，V1叫做弧头，V叫做弧尾。
	注意：若不存在顶点到自身的边，也不存在重复出现的边，这种图叫做简单图，数据结构课程中讨论的都是简单图。
	在有向图中，如果任意两个顶点之间存在方向相反的两条弧，这种图叫做有向完全图
	图中有很少边或弧的图叫稀疏图，反之叫稠密图。
	如果图中的边或狐有相关的数据，数据称为权，这种图称为网(带权图)。
	如果G(V,E)和G1(V1,E1),存在V包含V1,且E包含E1,那么G1称为G的子图。

顶点与边的关系：

顶点的度：指的是顶点相关联的边或弧的条目数。
	有向图又分为入度和出度。
入度：其他顶点到该顶点的弧的条目数。
出度：从该顶点出发到其它顶点的弧的条目数。
顶点序列：从一个顶点到另一个顶点的路径，路径长度指的是路径上的边或弧的条目数。
连通图：在无向图中，在顶点V到V1之间有路径，则称V到V1之间是连通的。如果任意两个顶点都是连通的，那么称这个无向图为连通图。
连通分量：无向图中的极大连通子图称为连通分量：
	1、必须是子图
	2、子图必须是连通的
	3、连通子图具有极大的顶点数。
在有向图中，在任意顶点之间都存在路径，则称这种图叫做强连通图。
在有向图中的极大连通子图称为有向的强连通分量。
在有向图中如果有一个顶点的入度为0，其它顶点的入度均为1，则是一棵有向树。

图的存储结构：

图的存储主要是两个方面：顶点、边
邻接矩阵：
	一个一维数组(顶点)和一个二维数组(边、弧)组成。
	二维数组i,i位置都是0，如果是无向图，则根据中轴线对称(左上到右下的对角线为轴)。
	优点：
		1、非常容易判定两点之间是否有边。
		2、非常容易计算某个点的入度和出度。
		3、非常容易统计邻接点。
		4、如果是稀疏图，非常浪费存储空间。
邻接表：由顶点表，边表组成。
	顶点表：
		顶点 邻接点地址/下标
	边表：
		项目下标|下一个邻接点地址。
	优点：
		1、节省存储空间。
		2、非常容易计算出度
	缺点：
		1、不方便计算入度
十字链表：由于邻接表不能同时兼顾出度和入度，因此我们修改邻接表的边表结构，使它既存储入度，也存储出度，这种表就叫十字链表。
邻接多重表：由于遍历表时需要一些删边操作，而邻接表在删除边时非常麻烦，因此就设计出了邻接多重表。
边集数组：由两个一维数组构成，一个存储顶点的信息，另一个存储边的信息(它的每个数据元素都由一条边的起点到终点的下标和权组成)，这种存储结构更侧重于边的相关操作(路径、路径长度、最短路径)，而统计顶点的需要扫描整个数组，效率不高。

图的遍历：

注意：图的遍历结果无论是深度优先还是广度优先都不是唯一的。
深度优先：类似树的前序遍历
广度优先：类似树的层序遍历，与树一样也需要是使用队列配合。