学习向量

一、向量的基本知识

1、向量表示和模长

1. 带着箭头的线段就是向量，箭头的方向表示向量的方向，线段的长度表示向量的大小。相应的没有方向的量称为数量，也称为标量
2. 向量是表示大小和方向的量，它并没有规定起点和终点，所以相同的向量可以画在任意位置上，注意：向量未必都是真的，也存在曲线向量
3. 向量的大小称为向量的模，它是一个标量，在平面直角坐标系中， 向量模长表示为：$$|a|=\sqrt{x{1}^2+x{2}^2}$$，a的模长也称为a的二范数，这里的|a|可不是绝对值，这是在数学中符号重用

2、维度和分量

1. 空间的每一个维度都可以代表任意事物，这完全取决于你对每一个维度的定义，多维空间只是个概念
2. n维空间表示方式：$\mathbb{R}{}^n$，上标n表示空间的维度
3. 向量在某一个维度上的值称为向量在该维度上的分量,比如${\mathbb{R}}^3$空间的向量$a=⟨3,5,8⟩$，a在三个维度的分量分别是3、5、8

3、单位向量和零向量

1. 零向量定义：所有分量都为0的向量。
   由于零向量是被压缩成一个点，所以零向量没有方向，原点就是典型的零向量。
   零向量用大写字母$\mathrm{O}$表示，也可发直接用数字0表示：
   $\mathrm{O}=\left[\begin{array}{c}0\\ 0\end{array}\right],\mathrm{O}\in {\mathbb{R}}^2$

   $\mathrm{O}=\left[\begin{array}{c}0\\ 0\\ 0\end{array}\right],\mathrm{O}\in {\mathbb{R}}^3$

2. 单位向量定义：模长等于1的向量。
   由于单位向量可以指向任何方向，所以单位向量有无数个，但是指向某一个特定方向的单位向量只有一个

3. 一个非零向量除以它的模，可以得到单位向量N: $\mathrm{N}=\frac{a}{|a|}$

二、向量的加减和数乘

1、向量加法

1. 只有相同维度的向量才能相加，两个向量相加时，只需要把这两个向量对应的分量依次相加，从而得到一个新的向量：
   $$a=\left[\begin{array}{c}-1\\ 2\end{array}\right],b=\left[\begin{array}{c}3\\ 1\end{array}\right],a+b=\left[\begin{array}{c}-1+3\\ 2+1\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}2\\ 3\end{array}\right]$$
   向量相加几何意义：a和b向量组成了平行四边形的两条边，相加的结果正是平行四边形的对角线

2、向量数乘

1. 一个向量可以和一个标量相乘，只需要把向量中的每个分量都与该标量相乘即可：
   $$\nu =\left[\begin{array}{c}1\\ 2\end{array}\right],\nu \times 2=\left[\begin{array}{c}2\\ 4\end{array}\right],\nu \times (-2)=\left[\begin{array}{c}-2\\ -4\end{array}\right]$$
2. 向量的数乘其实是对原向量的伸缩，如果是乘以正数，方向与原向量相同；如果乘以负数，方向与原向量相反

3、向量减法

1. 向量的减法实际上是由向量加法和数乘推导而来的
   $$a=\left[\begin{array}{c}2\\ 3\end{array}\right],b=\left[\begin{array}{c}-1\\ 2\end{array}\right],a-b=a+(-1)\times b=\left[\begin{array}{c}3\\ 1\end{array}\right]$$
2. $a-b$相当于先将b调头，再与a相加，即$a+(-b)$

4、向量与方程组

1. 一个方程组可以看作是向量加减和数乘的综合应用，比如：
   $$\{\begin{array}{l}3x+2y=7\\ -6x+6y=6\end{array}\Rightarrow \underset{\text{a}}{\underbrace{\left[\begin{array}{c}3\\ -6\end{array}\right]}}x+\underset{\text{b}}{\underbrace{\left[\begin{array}{c}2\\ 6\end{array}\right]}}y=\underset{\text{c}}{\underbrace{\left[\begin{array}{c}7\\ 6\end{array}\right]}}\Rightarrow ax+by=c$$
   $$\{\begin{array}{l}x=1\\ y=2\end{array}\Rightarrow a+2b=c$$

三、向量的点积

向量点积的别名是数量积或内积，其定义：点积是接收在实数$\mathbb{R}$上的两个向量并返回一个实数值标量的二元运算，它欧几里得空间的标准内积

1、什么是点积

1. 首先要明确的是：向量的点积是标量，是一个数
2. 点积的代数意义：如果$\mathrm{A}$和$\mathrm{B}$都是n维向量，它们的点积就是二者分量的乘积之和
   $如果：\mathrm{A}=⟨a_1,a_2,...,a_n⟩,\mathrm{B}=⟨b_1,b_2,...,b_n⟩$
   $那么：\mathrm{A}\cdot \mathrm{B}=\sum _{i=1}^n{a}_i{b}_i$
3. 点积的几何意义：以$\mathrm{A}$和$\mathrm{B}$的模乘以二者的夹角余弦
   $如果：\mathrm{A}=⟨a_1,a_2⟩,\mathrm{B}=⟨b_1,b_2⟩$
   $那么：\mathrm{A}\cdot \mathrm{B}=a_1{b}_1+a_2{b}_2=|\mathrm{A}||\mathrm{B}|\cos \theta$

2、余弦定理

1. 点积为什么能和夹角扯上关系呢，余弦定理定义已知三角形的两边和夹角，就可以知道第3边的长度：$|\mathbb{C}{|}^2=|\mathrm{A}{|}^2+|\mathrm{B}{|}^2-2|\mathrm{A}||\mathrm{B}|\cos \theta$
2. 用向量和点积表达余弦定理：
   $如果：\mathrm{A}=⟨a_1,a_2⟩,\mathrm{B}=⟨b_1,b_2⟩$
   $那么：\mathrm{A}\cdot \mathrm{B}=a_1{b}_1+a_2{b}_2$
   根据向量减法的几何意义：
   $$\begin{gathered} C=\mathrm{A}-\mathrm{B} \\ |C{|}^2=|\mathrm{A}-\mathrm{B}{|}^2=(a_1-b_1{)}^2+(a_2-b_2{)}^2 \\ =\underset{|\mathrm{A}{|}^2}{\underbrace{(a_1^2+a_2^2)}}+\underset{|\mathrm{B}{|}^2}{\underbrace{(b_1^2+b_2^2)}}-2\underset{\mathrm{A}\mathrm{B}}{\underbrace{(a_1{b}_1+a_2{b}_2)}} \\ =|\mathrm{A}{|}^2+|\mathrm{B}{|}^2-2\mathrm{A}\mathrm{B} \end{gathered}$$
   注意：$C=\mathrm{A}+(-1)\mathrm{B}$
   结合余弦定理：
   $$\begin{gathered} ||C{|}^2=|\mathrm{A}{|}^2+|\mathrm{B}{|}^2-2\mathrm{A}\mathrm{B}=\underset{\text{余弦定理}}{\underbrace{|\mathrm{A}{|}^2+|\mathrm{B}{|}^2-2|\mathrm{A}||\mathrm{B}|\cos \theta }} \\ \Rightarrow \mathrm{A}\cdot \mathrm{B}=|\mathrm{A}||\mathrm{B}|\cos \theta \end{gathered}$$
   因此结论：两个向量点积的几何意义是它们的模乘以它们的夹角余弦

四、点积的作用

1、计算向量间的夹角

可以利用点积计算向量之间的夹角(三维向量)
$$PQ=\left[\begin{array}{c}0\\ 1\\ 0\end{array}\right]-\left[\begin{array}{c}1\\ 0\\ 0\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}-1\\ 1\\ 0\end{array}\right],PR=\left[\begin{array}{c}0\\ 0\\ 2\end{array}\right]-\left[\begin{array}{c}1\\ 0\\ 0\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}-1\\ 0\\ 2\end{array}\right]$$
$$\begin{gathered} PQ\cdot PR=|PQ||PR|\cos \theta \Rightarrow \cos \theta =\frac{PQ\cdot PR}{|PQ||PR|} \\ =\frac{-1\ast (-1)+1\ast 0+0\ast 2}{\sqrt{(-1{)}^2+1^2+0^2}\ast \sqrt{(-1{)}^2+0^2+2^2}}=\frac{1}{\sqrt{10}} \\ \Rightarrow \theta ={\cos }^{-1}(\frac{1}{\sqrt{10}})\approx 71.5° \end{gathered}$$

2、判断向量的方向

1. 点积是一个数量；它可能小于0，实际上，只有当夹角小于$90°$时，点积才是正的
2. 设$\theta$是向量$\mathrm{A}$和$\mathrm{B}$之间的夹角，则：
   $$\begin{array}{cccc}if& \theta <90°,& then& \mathrm{A}\cdot \mathrm{B}>0\\ if& \theta >90°,& then& \mathrm{A}\cdot \mathrm{B}<0\\ if& \theta =90°,& then& \mathrm{A}\cdot \mathrm{B}=0\end{array}$$
   总结：
   1、当两个向量的点积大于0，即夹角小于$90\degree$时，我们认为这两个向量的方向大致相同；
2、当两个向量的点积小于0，即夹角大于$90\degree$时，我们认为这两个向量的方向大致相反；
3、当两个向量的点积等于0，即夹角等于$90\degree$时，我们认为这个向量二者垂直
   点积是度量两个向量相对方向的数字