HDU 4979 A simple math problem.

最新推荐文章于 2019-08-27 16:00:55 发布

原创最新推荐文章于 2019-08-27 16:00:55 发布 · 433 阅读

0 ·

CC 4.0 BY-SA版权

文章标签：

#ACM新手上路 #c++ #入门题 #HDU #矩阵快速幂

快速幂专栏收录该内容

3 篇文章

订阅专栏

本文介绍了一种使用矩阵快速幂的方法解决大规模递推数列问题的技术。针对给定的分段递推函数，通过构建特定的10×10矩阵并利用快速幂运算，可以有效地计算出f(k)%m的结果，即使k的值非常大也能在合理的时间内得出答案。

A Simple Math Problem

Time Limit:1000MS Memory Limit:32768KB 64bit IO Format:%I64d & %I64u

Description

Lele now is thinking about a simple function f(x).

If x < 10 f(x) = x.
If x >= 10 f(x) = a0 * f(x-1) + a1 * f(x-2) + a2 * f(x-3) + …… + a9 * f(x-10);
And ai(0<=i<=9) can only be 0 or 1 .

Now, I will give a0 ~ a9 and two positive integers k and m ,and could you help Lele to caculate f(k)%m.

Input

The problem contains mutiple test cases.Please process to the end of file.
In each case, there will be two lines.
In the first line , there are two positive integers k and m. ( k<2*10^9 , m < 10^5 )
In the second line , there are ten integers represent a0 ~ a9.

Output

For each case, output f(k) % m in one line.

Sample Input

10 9999
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
20 500
1 0 1 0 1 0 1 0 1 0

Sample Output

45
104

题意
一个分段函数f(x)。
当 x < 10 时，f(x) = x。
当 x >= 10 时，f(x) = a0 * f(x-1) + a1 * f(x-2) + a2 * f(x-3) + …… + a9 * f(x-10)。
并且 ai(0<=i<=9) 只能是 0 或 1。
现在给出 a0 ~ a9 ，k 和 m ，输出f(k) % m( k < 2 * 10^9 , m < 10^5 )。

分析
看 k 的范围知道 k 很大，直接跑 o(n) 的循环肯定会 T 掉，所以想到用矩阵来加速，构造的矩阵A为10*10矩阵，如下
0 1 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 1 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 1 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 1 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 1 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 1 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 1 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 1 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 1
a9 a8 a7 a6 a5 a4 a3 a2 a1 a0
所求问题可转化为求由f(0),f(1),...,f(9)构成的列矩阵 F 与 A 的乘法，只需乘 k-9 次即可。

10 * 10 的矩阵看着是真头疼，Orz......

AC代码如下

#include<cstdio>
#include<cstring>
#define N 10
using namespace std;

int k,m;
struct S
{
    int m[N][N];
};

S matrix_multiplication(S a,S b)
{
    S c;
    memset(c.m,0,sizeof(c.m));
    for(int i = 0 ; i < N ; i++)
        for(int j = 0 ; j < N ; j++)
        {
            for(int k = 0 ; k < N ; k++)
                c.m[i][j] += (a.m[i][k] * b.m[k][j]) % m;
            c.m[i][j] %= m;
        }
    return c;
}

S quick_power(S a,int x)
{
    if(x == 1) return a;
    else if(x & 1) return matrix_multiplication(quick_power(a,x-1),a);
    else
    {
        S c = quick_power(a,x/2);
        return matrix_multiplication(c,c);
    }
}

int main()
{
    S a;
    while(~scanf("%d%d",&k,&m))
    {
        for(int i = N-1 ; i >= 0; i--)
            scanf("%d",&a.m[9][i]);
        if(k < 10)
        {
            printf("%d\n",k % m);
            continue;
        }
        for(int i = 0 ; i < N-1 ; i++)
            for(int j = 0 ; j < N ; j++)
            {
                if(j == i + 1) a.m[i][j] = 1;
                else a.m[i][j] = 0;
            }
        S res = quick_power(a,k-9);
        int ans = 0;
        for(int i = 0 ; i < N ; i++)
            ans += (res.m[9][i] * i) % m;
        printf("%d\n",ans%m);
    }
    return 0;
}