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如上图所示，我们先初始化指针 i=0 和 j=n−1 ，分别指向数组首元素和尾元素，代表搜索区间 [0,n−1]。请注意，中括号表示闭区间，其包含边界值本身。它利用数据的有序性，每轮缩小一半搜索范围，直至找到目标元素或搜索区间为空为止。为了避免大数越界，我们通常采用公式 m=⌊i+(j−i)/2⌋ 来计算中点。若数组不包含该元素，则返回 −1。若数组不包含目标元素，搜索区间最终会缩小为空。，元素按从小到大的顺序排列且不重复。：在二分循环中，区间每轮缩小一半，循环次数为。接下来，循环执行以下两步。

二叉树(binary tree)是一种非线性数据结构，代表“祖先”与“后代”之间的派生关系，体现了“一分为二”的分治逻辑。与链表类似，二叉树的基本单元是节点，每个节点包含值、左子节点引用和右子节点引用。每个节点都有两个引用（指针），分别指向「左子节点 left-child node」和「右子节点 right-child node」，该节点被称为这两个子节点的「父节点 parent node」。

前两节介绍了哈希表的工作原理和哈希冲突的处理方法。然而无论是开放寻址还是链式地址，。如果哈希冲突过于频繁，哈希表的性能则会急剧劣化。如下图所示，对于链式地址哈希表，理想情况下键值对均匀分布在各个桶中，达到最佳查询效率；最差情况下所有键值对都存储到同一个桶中，时间复杂度退化至O(n)。。观察以上公式，当哈希表容量capacity固定时，hash()，进而决定了键值对在哈希表中的分布情况。这意味着，为了降低哈希冲突的发生概率，我们应当将注意力集中在哈希算法hash()的设计上。

上一节提到，，因此理论上哈希冲突是不可避免的。比如，输入空间为全体整数，输出空间为数组容量大小，则必然有多个整数映射至同一桶索引。哈希冲突会导致查询结果错误，严重影响哈希表的可用性。为解决该问题，我们可以每当遇到哈希冲突就进行哈希表扩容，直至冲突消失为止。此方法简单粗暴且有效，但效率太低，因为哈希表扩容需要进行大量的数据搬运与哈希值计算。为了提升效率，我们可以采用以下策略。哈希表的结构改良方法主要包括“链式地址”和“开放寻址”。

哈希表(hash table)，又称散列表，其通过建立键key与值value之间的映射，实现高效的元素查询。具体而言，我们向哈希表输入一个键key，则可以在 \(O(1)\) 时间内获取对应的值value。给定 n 个学生，每个学生都有“姓名”和“学号”两项数据。假如我们希望实现“输入一个学号，返回对应的姓名”的查询功能，则可以采用下图所示的哈希表来实现。除哈希表外，数组和链表也可以实现查询功能，它们的效率对比如下表所示。观察发现，，非常高效。

在队列中，我们仅能删除头部元素或在尾部添加元素。如下图所示，双向队列(double-ended queue)提供了更高的灵活性，允许在头部和尾部执行元素的添加或删除操作。

栈(stack)是一种遵循先入后出的逻辑的线性数据结构。我们可以将栈类比为桌面上的一摞盘子，如果需要拿出底部的盘子，则需要先将上面的盘子依次取出。我们将盘子替换为各种类型的元素（如整数、字符、对象等），就得到了栈数据结构。如下图所示，我们把堆叠元素的顶部称为“栈顶”，底部称为“栈底”。将把元素添加到栈顶的操作叫做“入栈”，删除栈顶元素的操作叫做“出栈”。

列表(list)是一个抽象的数据结构概念，它表示元素的有序集合，支持元素访问、修改、添加、删除和遍历等操作，无需使用者考虑容量限制的问题。列表可以基于链表或数组实现。当使用数组实现列表时，。这是因为我们通常无法事先确定需要存储多少数据，从而难以选择合适的列表长度。若长度过小，则很可能无法满足使用需求；若长度过大，则会造成内存空间的浪费。为解决此问题，我们可以使用「动态数组 dynamic array」来实现列表。它继承了数组的各项优点，并且可以在程序运行过程中进行动态扩容。实际上，

内存空间是所有程序的公共资源，在一个复杂的系统运行环境下，空闲的内存空间可能散落在内存各处。我们知道，存储数组的内存空间必须是连续的，而当数组非常大时，内存可能无法提供如此大的连续空间。此时链表的灵活性优势就体现出来了。链表(linked list)是一种线性数据结构，其中的每个元素都是一个节点对象，各个节点通过“引用”相连接。引用记录了下一个节点的内存地址，通过它可以从当前节点访问到下一个节点。链表的设计使得各个节点可以被分散存储在内存各处，它们的内存地址是无须连续的。

数组(array)是一种线性数据结构，其将相同类型元素存储在连续的内存空间中。我们将元素在数组中的位置称为该元素的索引(index)。下图展示了数组的主要术语和概念。

常见的数据结构包括数组、链表、栈、队列、哈希表、树、堆、图，它们可以从“逻辑结构”和“物理结构”两个维度进行分类。

对于一个给定的算法，最差时间复杂度通常是在最坏情况下的时间复杂度上界，它提供了算法在最坏情况下的性能保证。对于一个给定的算法，最佳时间复杂度通常是在最佳情况下的时间复杂度下界，它提供了算法在最佳情况下的性能上限。需要注意的是，在计算空间复杂度时，我们通常不考虑输入参数的空间占用，因为输入参数是在调用函数时传入的，不是在算法内部分配的。如图下图所示，计算渐近上界就是寻找一个函数f(n)，使得当 n 趋向于无穷大时,T(n)和f(n)处于相同的增长级别，仅相差一个常数项 c 的倍数。而与时间复杂度不同的是，

算法(algorithm)是一系列解决问题或执行任务的指令或规则的有序集合。它是为了解决特定问题而设计的一种计算方法或步骤。算法可以用来处理数据、执行计算、自动化任务以及实现各种功能。问题是明确的，包含清晰的输入和输出定义。具有可行性，能够在有限步骤、时间和内存空间下完成。各步骤都有确定的含义，相同的输入和运行条件下，输出始终相同。数据结构(data structure)是一种组织和存储数据的方式，它定义了数据之间的关系、操作和访问方式。