二分图（匹配）and KM算法_非对称二分图匹配km-优快云博客

本文链接：https://blog.youkuaiyun.com/zbbxndm/article/details/124718533

本文介绍了二分图的概念及其性质，包括不存在长度为奇数的环。通过染色法判断无向图是否为二分图，并展示了如何通过DFS实现最大匹配。此外，还探讨了二分图在最小覆盖点问题和最大独立集问题中的应用，通过行列建图解决实际问题。文章提供了三个具体的实例，分别涉及最大匹配、最小覆盖点和最大独立集的求解，通过二分图算法求解这些问题。

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二分图的定义
节点由两个集合组成，且两个集合内部没有边的图。

二分图的判定
由二分图的定义可知，二分图有着这样一个性质：
二分图不存在长度为奇数的环。
因为每一条边都是从一个集合走到另一个集合，只有走偶数次才可能回到同一个集合。

这条性质将被用来判定一个无向图是否是二分图。
我们通常使用染色法判定二分图，将每个顶点染色，并且相邻的顶点染不同颜色，如果存在俩相邻点染上了同一颜色，则与二分图定义不符

以上是转载！！！！

1.POJ The Perfect Stall 的一个基础二分图题目题目来源POJ

对于该题解析在代码中有注释

#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<string.h>
#include <set>
#include<cstdio>
#include <vector>
#include<map>
#include<string>
#include<cstring>
#include<numeric>
#include<math.h>
#include<queue>
#include <functional>
//#include <bits/stdc++.h>
//#include<unordered_map>
using  namespace std;

#define Fast std::ios::sync_with_stdio(false);cin.tie(0);cout.tie(0);
#define SQR(i) fixed<<setprecision(i)
#define int long long
typedef long long ll;
#define endl '\n'
#define int long long

int n, m;
bool vis[505];
int linker[505];//左边
vector<int>mp[505];

bool dfs(int u) {

	for (int i = 0; i < mp[u].size(); ++i)
	{
		int v = mp[u][i];//匹配对象
		if(!vis[v])
		{
			vis[v] = true;//代表改点用过
			if (linker[v] == -1 || dfs(linker[v]))
			{ //如果匹配对象没有被匹配 或者 之前linker右边匹配的对象u还有另一选择
			  //将上一次匹配给他的另外一次选择，这次选择机会给v，从而不断回溯使得最大匹配
			  //就比如现在1想要匹配6 但是6已经和3匹配了，所以这个时候如果3有另外一种选择
			  //让3去匹配另一个增广路，1和6匹配，如果3没有其他选择那就false
				linker[v] = u;//表示linker[v]被u匹配
				return true;
			}
		}
	}
	return false;
}
void Solve() {
	for (int i = 0; i <= n; ++i)
		mp[i].clear();//清空容器
	for (int i = 0; i < n; ++i) {
		int x; cin >> x;
		for (int j = 0; j < x; ++j)
		{
			int y; cin >> y;
			mp[i].push_back(y);//存图
		}
	}
	int res = 0;
	memset(linker, -1, sizeof linker + n + m);//把匹配对象置为-1，表示没有匹配过

	for (int i = 0; i < n; ++i)
	{
		fill(vis, vis + n + m, false);//每次都更新vis
		//尽量使用memset
		if (dfs(i))res++;
	}
	cout << res << endl;//最大匹配数字
}

signed main()
{
	std::ios::sync_with_stdio(false);
	cin.tie(0); cout.tie(0);
	int t;
	while (cin >> n >> m)
		Solve();
}

2.Asteroids 行列建图

POJ题目来源

最小覆盖点问题 = 最大匹配数

利用行列建图，比如行i可以向列j连线匹配，从而形成一个二分图

#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<string.h>
#include <set>
#include<cstdio>
#include <vector>
#include<map>
#include<string>
#include<cstring>
#include<numeric> 
#include<math.h>
#include<queue>
#include <functional>
 //#include <bits/stdc++.h>
 //#include<unordered_map>
using  namespace std;

#define Fast std::ios::sync_with_stdio(false);cin.tie(0);cout.tie(0);
#define SQR(i) fixed<<setprecision(i)
#define int long long
typedef long long ll;
#define endl '\n'
#define int long long

int n, m;
int k; 
bool vis[505];
int linker[505];//左边
vector<int>mp[550];

bool dfs(int u)
{
	for (int i = 0; i < mp[u].size(); ++i)
	{
		int v = mp[u][i];
		if (!vis[v])
		{
            vis[v] = true;
			if (linker[v] == -1 || dfs(linker[v]))
			{
				linker[v] = u;
				return true;
			}
		}
	}
	return false;
}
void Solve() {
	//行列建图
	//每个i可以有多个j
	//相当于第i列有多个东西 最小覆盖嗲使得全为0
	for (int i = 0; i <= n; ++i)
		mp[i].clear();//清空容器

	for (int i = 0; i < k; ++i)
	{
		int x, y;
		cin >> x >> y;//x行 y列
		mp[x].push_back(y);
	}
	int res = 0;
	memset(linker, -1, sizeof linker);

	for (int i = 1; i <= n; ++i)
	{
		memset(vis, false, sizeof vis);
		if (dfs(i))res+=1;
	}
	cout << res << endl;
}

signed main()
{
	std::ios::sync_with_stdio(false);
	cin.tie(0); cout.tie(0);
	int t;
	while(cin >> n >> k)
	Solve();
}

3.Air Raid二分图

二分图最大独立集问题 n-最大匹配数

题目来源POJ1422

#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<string.h>
#include <set>
#include<cstdio>
#include <vector>
#include<map>
#include<string>
#include<cstring>
#include<numeric> 
#include<math.h>
#include<queue>
#include <functional>
 //#include <bits/stdc++.h>
 //#include<unordered_map>
using  namespace std;

#define Fast std::ios::sync_with_stdio(false);cin.tie(0);cout.tie(0);
#define SQR(i) fixed<<setprecision(i)
#define int long long
typedef long long ll;
#define endl '\n'
#define int long long

int n, m;
int k;
bool vis[5055];
int linker[5055];//左边
vector<int>mp[5550];

bool dfs(int u)
{
	//vis[u] = true;
	for (int i = 0; i < mp[u].size(); ++i)
	{
		int v = mp[u][i];
		if (!vis[v])
		{
			vis[v] = true;
			if (linker[v] == -1 || dfs(linker[v]))
			{
				linker[v] = u;
				return true;
			}
		}
	}
	return false;
}
void Solve() {
	cin >> n >> m;
	for (int i = 0; i <= n; ++i)mp[i].clear();
	for (int i = 0; i < m; ++i)
	{
		int x, y;
		cin >> x >> y;
		mp[x].push_back(y);
	}
	int res = 0;
	memset(linker, -1, sizeof linker);
	for (int i = 1; i <= n; ++i)
	{
		memset(vis, false, sizeof vis);
		if (dfs(i))res++;
	}
	cout << n - res << endl;
}

signed main()
{
	std::ios::sync_with_stdio(false);
	cin.tie(0); cout.tie(0);
	int t;
	cin >> t;
	while (t--)
		Solve();
}