【JZOJ2702】探险

图转侵删

题解的构造我暂时没去理解，一眼没看懂就不理了
赛后自己先想了想，然后和hsz，ymw大爷讨论一番我的想法，没发现什么错
先感谢大爷们对我的帮助_ (:з)∠)_

由于题目要求的是最短路径，我们不妨考虑图的最短路DAG和答案路径$P_{ans}$，找找关系
又因为要回到原点，我们应当考虑两个最短路图：从原点出发的，记为$G_1$，从各个点到原点的，记为$G_2$
然后自然得到一个猜想，$P_{ans}$能拆成$P_1+P_2,P_1\in G_1,P_2\in G_2$
因为看起来很对，我们考虑证明它。要证明这个猜想我们先证明一个很像的结论：
在$P_{ans}$上任选一点，被分成的两条路径$^1$必有一条在$G_1$或$G_2$上
在选的点不为$P_{ans}$中原点的前驱或后继的情况下$^2$，只要取出前驱后继进行讨论即可证明$^{2.5}$
有了这个结论，在一般情况下$^3$,猜想是显然正确的
故根据猜想，我们只需要枚举连接$P_1,P_2$的边，在$G_1,G_2$上讨论$^4$，贡献答案即可
至此问题解决（了吧？大概= =）

看懂了就不必看注释了。。
(1) 两条路径指：原点到选定点，选定点到原点 这两条
(2) 不在这种情况下我没有讨论，不知道结论是否仍然正确
(3) 特殊情况为：1.$P_{ans}$的长度小于4。2.$P_{ans}$只由一条最短路和一个点组成
这些情况不知道是否还能通过枚举边来贡献到答案，但显然可以打几个针对的算法解决
(4) 若在最短路DAG上到达某点的第一条边唯一，则此边为该点的支配边
若枚举的边的两点的支配边不同（或者其中一点没有支配边）则可以贡献答案，否则为非法，不贡献
(2.5)如图

说明:$P_1\notin G_1,P_2\notin G_2,P_1'\in G_1,P_2'\in G_2,ABCD$为各路径上最靠近原点的点
考虑反证
当$A\neq C$或$B\neq D$时，$P_1+P_2'$或$P_1'+P_2$将构成合法且更优的答案$^5$
当$A=C$且$B=D$时，由答案路径定义，$A\neq D$，故$B\neq C$，$P_1'+P_2'$将构成合法且更优的答案$^5$
得证
(5)事实上，答案可能不合法，两路径会在中途经过重边，但若只保留从原点到第一次重边的位置，答案将合法且更优。
更优显然，合法是因为保证了原点的前驱后继不同，就保证了保留下来的路径不会只剩下一个原点

如果有什么定义上的问题可以评论♪(^∇^*)