Gabor金字塔在视觉注意模型研究中的应用（二）--奔跑篇

本文深入探讨了Gabor变换的基本概念及其在图像处理领域的应用。首先介绍了选择高斯函数作为窗函数的原因，接着分析了Gabor变换的定义式，并讨论了其局限性和解析理论。最后，文章还介绍了二维Gabor滤波器的特性和应用场景。

一、为何选择高斯函数作为窗函数？

（1）、其他窗函数的短时距傅立叶变换，如短时距傅立叶变换提到的方形窗函数，无法同时兼顾时间轴和频率轴的分辨率，一者分辨率提升另一者分辨率必定下降。但高斯函数由海森堡测不准原理可得知，是最能同时让两轴兼顾分辨率的窗函数；

（2）、高斯函数为傅立叶转换的特征函数，因此经过转换后其性质不变。因此可让Gabor变换后在时间轴和频率轴的性质相互对称。

其意义在于Gabor变换出现之后，才有了真正意义上的时间－频率分析，即Gabor变换可以达到时频局部化的目的：它能够在整体上提供信号的全部信息而又能提供在任一局部时间内信号变化剧烈程度的信息。简言之，可以同时提供时域和频域局部化的信息。

1、将短时距傅里叶变换中的窗函数代入高斯函数，即可得下面的定义：

2、Gabor变换的一般化：

由于高斯窗函数的宽度可以由其变异数做调整，因此我们将这个参数加入Gabor变换的数学式子中，让转换更具有弹性：

改变高斯函数的宽度和改变方形窗函数短时距傅立叶变换的效果类似。若选取较大的 $\sigma$ ，高斯窗函数较窄，则时间轴有较高的分辨率，频率轴的分辨率会下降。反之，若选取较小的 $\sigma$ ，高斯窗函数较宽，则时间的分辨率下降，频率轴的分辨率会上升。虽然还是有两轴之间的分辨率的牺牲，但比起其他无法满足测不准原理下限的窗函数，加伯变换的两轴还是能相对维持较高的分辨率。（以上内容想要了解的更详细，可以参考维基百科加伯变换）

二、Gabor定义式分析

1、窗函数的确定

设函数f为具体的函数，且，则Gabor变换定义为

其中窗函数：

是高斯函数，是一个时间局部化的“窗函数”，是的对偶函数。假若，则有

其中a>0,b>0，参数b用于平行移动窗口，以便于覆盖整个时域。对参数b积分，则有

信号的重构表达式为

2、Gabor变化离散化

其中，，是的对偶函数，二者之间有如下双正交关系：

PS：（1）Gabor变换的局限性

经理论推导可以知，高斯窗函数条件下的窗口宽度与高度积为一固定值

矩形时间--频率窗：宽为，高为。

由此，可以看出Gabor变换的局限性：时间频率的宽度对所有频率是固定不变的。实际要求是：窗口的大小应随频率而变化，频率高窗口应愈小，这才符合实际问题中的高频信号的分辨率应比低频信号的分辨率要低。

（2）Gabor变换的解析理论

Gabor变换的解析理论就是由g(t)求对偶函数的方法，定义g(t)的Zak变换为

可以证明，对偶函数可由下式求出：

有了对偶函数可以使计算更为简洁方便。

（3）适用条件

①临界采样Gabor展开要求条件：TΩ=2π；

②过采样展开要求条件：TΩ≤2π；当TΩ＞2π时，欠采样Gabor展开，已证明会导致数值上的不稳定。

三、二维Gabor滤波器

用Gabor函数形成的二维Gabor滤波器具有在空间域和频率域同时取得最优局部化的特性，因此能够很好地描述对应于空间频率(尺度)、空间位置及方向选择性的局部结构信息。Gabor滤波器的频率和方向表示接近人类视觉系统对于频率和方向的表示，并且它们常备用于纹理表示和描述。在图像处理领域，Gabor滤波器是一个用于边缘检测的线性滤波器。在空域，一个二维的Gabor滤波器是一个正弦平面波和高斯核函数的乘积。Gabor滤波器是自相似的，也就是说，所有Gabor滤波器都可以从一个母小波经过膨胀和旋转产生。

实际应用中，Gabor滤波器可以在频域的不同尺度，不同方向上提取相关特征。